HISTORIA DEL BLOG APUNTES DE PRODUCCION Y LOGISTICA

Al blog: "apuntes de producción y logística", se puede acceder por la siguiente dirección:

http://apuntesdeproduccionylogisticacgi2008.blogspot.com/

El montaje gradual de este blog, es el producto de la experiencia que obtuve en la orientación de los módulos de programación de la producción, control de la producción, costos de producción, Técnicas de gestión empresarial, Formulación y Evaluación de proyectos y logística industrial en el programa de tecnólogos de gestión de la producción industrial en el CGI. También el resultado de la experiencia académica en el estudio técnico de la formulación y evaluación de proyectos que he venido trabajando desde hace varios años y que esta íntimamente ligado con el área de producción. La buena acogida que obtuvieron los temas que desarrolle en clases, por parte de la mayoría de mis alumnos de producción del Centro de gestión, me impulsa a crear este blog y a dejarlo disponible, para ellos, para futuros alumnos y para otras personas interesadas en el área de producción y logística industrial. Espero que los temas que, se suban gradualmente al blog, les presten alguna contribución como ya me la presto a mí al reafirmar y acrecentar mi escaso conocer en el área de la producción y de la logística industrial, conformadas por un Mar inmenso de conocimientos y que no son exclusivos del campo industrial. Cualquier aclaración o duda pueden escribirme al correo l_arismendy@misena.edu.co y si la puedo resolver con gusto lo haré o a partir del año 2009, creo estaré en el área de emprendimiento empresarial en el CGI, el SENA es uno solo.

El blog contiene aspectos teóricos y enlaces a través de direcciones electrónicas, que permiten el acceso a ejemplos aplicados ilustrativos, sencillos de la teoría a que hace referencia este blog, por ahora se empieza con los siguientes temas: Glosario de producción y de Logística, Sistemas de producción, optimización de los costos logísticos de transporte (método de la esquina noroeste y método de Vogel como soluciones iniciales para la optimización de los costos de transporte ) y simplex, aplicado a problemas sencillos de optimización de la producción.

Gradualmente a lo largo del año 2009 y parte del 2010, ha medida que mí disponibilidad de tiempo libre me lo permita, se subirán al blog algunos temas teóricos con ejemplos de cálculo de fácil comprensión, a los ejemplos se tendra acceso a través de enlaces o direcciones electrónicas.

Ente otros en orden aleatorio los temas son:

§ Método gráfico para la optimización de utilidades o costos en problemas de producción

§ Pronósticos de Corto plazo, para la programación de la producción ( métodos: promedio móvil, promedio móvil ponderado, suavizamiento exponencial, suavizamiento exponencial con corrección y ajuste por tendencia)

§ Pronósticos de largo Plazo, para la planeación de la producción (métodos: Regresión lineal simple, regresión logarítmica, regresión exponencial y regresión lineal múltiple)

§ Plan agregado de la producción con ejemplos sencillos

§ Plan maestro de la producción con ejemplos sencillos

§ Plan de requerimiento de materiales con ejemplos sencillos

§ Métodos de asignación de trabajos a máquinas y a hombres, con ejemplos sencillos

§ Presupuesto del costo de producción y gastos de ventas, administración y financieros en las empresas industriales, ejemplo ilustrativo sencillo

§ Distribución de planta por producto, ejercicio aplicado sencillo

§ Distribución de planta por procesos, ejercicio aplicado sencillo

§ Distribución de planta por componente fijo sencillo (graficas de Gant, sistema CPM y sistema Pert, los dos últimos incluyendo costos)

§ Estado Financiero de Costo de producción y costo de venta, ejemplo ilustrativo sencillo

§ Costos de producción por procesos con todos sus registros contables y financieros

§ Costos de producción por ordenes con todos sus registros contables y financieros

§ Liquidación Nomina de producción y contratos a termino indefinido

§ Costo total en las empresas industriales, subdivididos en fijos y variables

§ Punto de equilibrio en las empresas industriales

§ Algunos aspectos importantes en el control de: La planeación, la preparación y la ejecución de la producción

§ Cinco Modelos de inventarios, ejercicios aplicados sencillos

§ Sistema periódico y continuo de inventarios con todos sus registros contables y financieros

§ Clasificación ABC de los inventarios de la producción con ejemplo ilustrativo sencillo

§ Valoración de los Inventarios ( métodos: promedio ponderado, ueps y peps), ejemplos ilustrativos sencillos

§ Medios de transporte desde y hacia la fabrica, ventajas y desventajas

§ Transporte en la fabrica, de recorrido horizontal, recorrido vertical y nivel elevado

§ Transporte internacional como eslabón de la cadena logística

§ Procesamiento de pedidos

§ Recepción de materias primas y expedición de productos

§ Almacenamiento de materias primas y productos

§ El producto de la logística

§ Distribución de productos y servicio al cliente

§ Anotaciones sobre algunos procesos industriales (corte o desbaste, producción, ensamble y acabados)


Cordialmente

Luciano Evaristo Arismendy Cárdenas
Instructor T.C
Centro de Gestión industrial

ACTUALIZACION BLOG. 1 DE DICIEMBRE

NUEVOS TEMAS EN EL BLOG:

§ Método Gráfico. útil para la optimización de problemas de producción

§ Método del Circuito de Stepping Stone. Útil para optimizar los costos logísticos del transporte de materiales y productos

§ Método de la Asignación. Útil para Asignar Trabajos a Maquinas y personas tareas en la producción

§ Soluciones básicas y óptimas en los costos logísticos de transporte de materiales y productos

§ Referencias bibliograficas de producción y logística industrial

§ Listado de próximos temas a subir al blog

NOTA. También formara parte del blog el tema de herramientas de estadística para la producción (en lo relacionado con planeación y programación de la producción, control de la producción y control de calidad)

ACTUALIZACION DEL BLOG 8 DE DICIEMBRE
El tema Soluciones básicas degeneradas forma parte de la actualización del blog apuntes de producción y logística. La teoría se puede consultar en el blog mencionado.
http://apuntesdeproduccionylogisticacgi2008.blogspot.com/


El Ejemplo aplicado lo pueden consultar en el siguiente enlace (incluido también en el blog)

http://spreadsheets.google.com/pub?key=pAAIO2lY9BwLkLXX0s0N-Wg



Otro tema que próximamente contendrá el blog será la aplicación de matrices para la programación de rutas de vehículos de reparto de productos

ACTUALIZACION BLOG 14 DE DICIEMBRE

El problema dual forma parte de la actualización del blog:


http://apuntesdeproduccionylogisticacgi2008.blogspot.com/

En el siguiente enlace:

http://spreadsheets.google.com/pub?key=pAAIO2lY9BwKPp9hyq9MJew&gid=1

También incluido en el blog, se desarrolla un ejemplo aplicado de minimización del costo de producción, el cual se había utilizado ya en el método SIMPLEX (ver blog), de dos formas diferentes: la primera resolviéndolo tal como un problema de minimización y la segunda resolviéndolo como un problema de maximización, al multiplicar previamente la función objetivo por menos uno (ver blog)

Ahora se resolverá el problema de una tercera forma aplicando el método del problema dual.

El fundamento del problema del ejemplo aplicado es optimizar el costo de producción (es decir minimizarlo) en función de las cantidades de producto a fabricar, de las relaciones de consumo de las materias primas y de la disponibilidad de suministro de las mismas"

La actualización de este blog continuara en el año 2009, y parte del 2010, para las personas interesadas en temas de producción y logística industrial.



Feliz Navidad 2008 y Prospero Año 2009 para todos, les desea


Ing: Luciano Evaristo Arismendy Cárdenas. Instructor SENA Centro de Gestión Industrial, Área de Emprendimiento Empresarial.



DIRECCIONES DE OTROS BLOGS

http://estudiotecnicodelproyectocgi20082s.blogspot.com/


http://proyectosproductivoscgi2008.blogspot.com/


http://logisticaindustrial-cgi2008.blogspot.com/

PROBLEMA DUAL DE LA PROGRAMACION LINEAL

CONTENIDO

§ PROBLEMA DUAL DE LA PROGRAMACION LINEAL
§ CASOS BASICO DE LOS PROBLEMAS DUALES.
§ NORMAS PARA PLANTEAR UN PROBLEMA DUAL.
§ ENLACE EJERCICIO APLICADO DEL PROBLEMA DUAL
http://spreadsheets.google.com/pub?key=pAAIO2lY9BwKPp9hyq9MJew&gid=1

§ INTERPRETACION DE LA SOLUCION SIMPLEX PARA EL PROBLEMA DUAL Y EL PRIMAL


PROBLEMA DUAL DE LA PROGRAMACION LINEAL

Todo problema de programación lineal primal, tiene asociado otro problema dual. Útil también para optimizar problemas específicos de producción, inventarios, transporte, almacenamiento, dietas, finanzas etc.

Si el problema primal se plantea como maximizar, el problema dual se plantea como minimizar y viceversa.

§ Dual Asimétrico. Se da cuando hay una igualdad.
§ Dual Simétrico. Se da cuando hay una desigualdad así: desigualdad tipo uno (1) si es <>

Después de plantear el problema dual, a partir del problema primal, el problema dual se resuelve aplicando el método SIMPLEX, el cual se explico en este mismo blog.

CASOS BASICO DE LOS PROBLEMAS DUALES.

CASO 1

1. Si el problema primal es Maximizar:
Z= C.X = función objetivo
Sujeta a las restricciones:
AX < B
Con condición de no negatividad:
Xi > 0

2. Entonces el problema dual será Minimizar
G=B.W = Función Objetivo
(B son los coeficientes independientes de las restricciones del primal y W corresponde a las nuevas variables del problema dual)
Sujeta a las restricciones:
A”W > C
(A” son los coeficientes de las variables de las restricciones del primal y C son los coeficientes de la función objetivo del primal
Con condición de no negatividad.
Wi > 0

CASO 2

1. Si el problema primal es Maximizar:
Z= C.X = función objetivo
Sujeta a las restricciones:
AX =B
Con condición de no negatividad:
Xi > 0

2. Entonces el problema dual será Minimizar
G=B.W = Función Objetivo
(B son los coeficientes independientes de las restricciones del primal y W corresponde a las nuevas variables del problema dual)
Sujeta a las restricciones:
A”W > C
(A” son los coeficientes de las variables de las restricciones del primal y C son los coeficientes de la función objetivo del primal
Wi, no tiene restricción de signo

CASO 3

1. Si el problema primal es Minimizar
Z= C.X = función objetivo
Sujeta a las restricciones:
AX > B
Con condición de no negatividad:
Xi > 0

2. Entonces el problema dual será Maximizar
G=B.W = Función Objetivo
(B son los coeficientes independientes de las restricciones del primal y W corresponde a las nuevas variables del problema dual)
Sujeta a las restricciones:
A”W < C
(A” son los coeficientes de las variables de las restricciones del primal y C son los coeficientes de la función objetivo del primal
Con condición de no negatividad.
Wi > 0

Nota: Si las restricciones a que está sujeta la función objetivo tienen combinaciones de desigualdades de tipo 1(<), tipo 2 (>) e igualdades (=). Se deben tener en cuenta algunas normas específicas para plantear el problema dual. A continuación se presentan las normas para plantear un problema dual e ilustramos con ejemplos si es necesario.


NORMAS PARA PLANTEAR UN PROBLEMA DUAL.

NORMA1. Si el primal es de tipo maximizar cualquier desigualdad de tipo 2, debe convertirse en desigualdad de tipo 1 antes de plantear el dual. Ejemplo:

§ Problema Primal: Maximizar.
Z= 2X1+2X3+2X3 (Z=CX)
Sujeto a las siguientes restricciones:
1X1+1X2+1X3<4
1X1+0X2+1X3>6
0X1+1X2+1X3<3
1X1+1X2+0X3>2
Para todo X1, X2 y X3 mayor igual a cero
Entonces la conversión para las desigualdades de tipo 2 es:
1X1+1X2+1X3<4
-1X1-0X2-1X3<-6
0X1+1X2+1X3<3
-1X1-1X2-0X3<-2
Las desigualdades de tipo 1 quedan iguales.

§ Problema Dual: Minimizar.
G=4W1-6W2+3W3-2W4
Sujeto a las siguientes restricciones:
1W1-1W2+0W3-1W4>2
1W1-0W2+1W3-1W4>2
1W1-1W2+1W3-0W4>2
Para todo W1, W2 y W3 mayor igual a cero
Para resolver este problema dual se aplica el método Simplex.


NORMA2. Si el primal es de tipo minimizar cualquier desigualdad de tipo 1 debe convertirse a desigualdad de tipo 2 antes de entrar a plantear el problema dual

NORMA3. Si el primal es de tipo minimizar, su problema dual será de tipo maximizar y viceversa.

NORMA4. Si la r-esima variable del primal no tiene restricción de signo entonces la r-esima condición del dual debe de ser una igualdad. Ejemplo

PRIMAL: MAXIMIZAR: Z=6X1+3X2+1X3
SUJETO A LAS SIGUIENTES RESTRICCIONES:
6X1+3X2+1X3<4
3X1+3X2-1X3<3
1X1+0X2+1X3<1
X1 y X3 >0
En este caso la r-esima variable del primal es X2 por que no tiene restricción de signo
DUAL: MINIMIZAR G=4W1+3W2+1W3
SUJETO A LAS SIGUIENTES RESTRICCIONES:
6W1+3W2+1W3>6
3W1+3W2+0W3 = 3 (r-esima condición del dual)
1W1-1W2+1W3>1
W1, W2, W3 >0

NORMA5. Si la r-esima variable del primal tiene la condición de no negatividad, entonces la r-esima condición del dual será una desigualdad de tipo 1si el primal es de tipo mínimo y será una desigualdad de tipo 2 si el primal es de tipo máximo.

En el ejemplo de la norma 4 el primal es de tipo máximo y la r-esima variable es X1 y también X3, que tienen restricción de no negatividad. Entonces la r-esima condición del dual es la restricción 1 y también la restricción 3 y son desigualdades de tipo 2.

NORMA6. Si la s-esima condición del primal es una igualdad, entonces la s-esima variable del dual no tiene restricción de signo. Ejemplo

PRIMAL: MINIMIZAR: Z= 2X1+3X2
SUJETA A LAS SIGUIENTES RESTRICCIONES:
1X1+1X2>1
1X1+3X2=3 (s-esima condición del primal)
2X1+1X2>2
X1 y X2 >0 (condición de no negatividad)
DUAL: MAXIMIZAR G=1W1+3W2+2W3
SUJETA A LAS SIGUIENTES RESTRICCIONES:
1W1+1W2+2W3<2
1W1+3W2+1W3<3
W1 y W3 >0
W2 es la s-esima variable del dual y no tiene restricción de signo

NORMA7. Si la s-esima condición del primal es una desigualdad, entonces la s-esima variable del dual debe tener restricción de no negatividad.

Esta condición se observa en el ejemplo de la norma 6 donde

s-esima condición del primal son las restricciones 1 y 3 a que esta sujeta la función objetivo
y las s-esimas variables de dual son W1 y W3 que tienen condición de no negatividad.

EJERCICIO APLICADO DEL PROBLEMA DUAL

El ejercicio que se presenta en el enlace:
http://spreadsheets.google.com/pub?key=pAAIO2lY9BwKPp9hyq9MJew&gid=1
Es un ejercicio aplicado a la producción y más exactamente a la optimización de los costos de producción de artículos en función de la cantidad de los mismos a elaborar, de las relaciones de consumo de las materias primas y de las disponibilidades y condiciones del suministro de las materias primas.

En el enlace este ejercicio se desarrolla en la hoja de cálculo 1. En la hoja de cálculo 2 se desarrolla el mismo ejercicio por el método Simplex de dos formas diferentes: como un problema de minimización y posteriormente se desarrolla convirtiéndolo previamente a un problema de maximización.

INTERPRETACION DE LA SOLUCION SIMPLEX PARA EL PROBLEMA DUAL Y EL PRIMAL

http://spreadsheets.google.com/pub?key=pAAIO2lY9BwKPp9hyq9MJew&gid=1

La interpretación de los resultados es la siguiente:

1) Desarrollándolo como un problema dual por el método simplex. (ver enlace hoja 1). La tabla de la tercera solución, corresponde a la optima, es decir al costo mínimo de producción de los artículos A y B (Zj=254), la respuesta se da para los valores óptimos de Y1 y Y2, pero en realidad los valores óptimos de X1 y X2 (cantidad de los artículos A y B) aparecen con signo cambiado como las entradas (Cj-Zj) para H1 y H2, por lo tanto X1 y X2 pueden obtenerse también de la solución dual.

Para que el costo de producción de los artículos A y B sea mínimo (254), se deben fabricar 14 toneladas de alimento A (X1) y 33 toneladas de Alimento B (X2)


2) Desarrollándolo como un problema primal por el método simplex. (ver enlace hoja 2). La tabla de la tercera solución corresponde a la óptima. En esta solución intervienen las variables X1 (cantidad de toneladas del Articulo A) y X2 (cantidad de toneladas del articulo B). La solución en la tabla la da la columna encabezada con Po. y es
X1=14 toneladas de alimento A a fabricar
X2=33 toneladas de alimento B a fabricar
Zj=254 costo mínimo de producción de los alimentos A y B, en función de las relaciones de consumo de las materias primas y de las restricciones de suministro de las mismas.

SOLUCIONES BASICAS DEGENERADAS EN LOS COSTOS LOGISTICOS DE TRANSPORTE

§ SOLUCION FACTIBLE. Conjunto de valores Xij que forman parte de la función objetivo de un problema de programación lineal aplicada a transporte y cumplen todas las restricciones

§ SOLUCION BASICA. Es aquella solución Factible que tiene a lo más m+n-1 variables positivas (> 0), donde m representa el número de filas de la matriz o la tabla y n el número de columnas

§ SOLUCION BASICA NO DEGENERADA. Es aquella solución factible que tiene exactamente m+n-1 variables positivas (> 0), donde m representa el número de filas de la matriz o la tabla y n el número de columnas.

§ SOLUCION BASICA DEGENERADA. Es aquella solución factible que tiene menos de m+n-1 variables positivas (> 0), donde m representa el número de filas de la matriz o la tabla y n el número de columnas

Nota: Las variables positivas son aquellas variables cuyo valor en la matriz es mayor que cero y se les conoce como variables básicas. Las variables libres son aquellas variables cuyo valor en la matriz es nulo es decir cero.


SOLUCIONES BASICAS DEGENERADAS[1]

Se pueden presentar por las siguientes causas:

§ Por la modificación de otra solución básica degenerada

§ En la obtención de una solución básica inicial, cuando al asignar la mayor cantidad posible a una casilla diferente de la ultima (la m+n-1), se copa al mismo tiempo el valor disponible en la fila y el valor disponible en la columna.

§ En la modificación de una tabla o matriz, al escoger la variable que sale, el valor mínimo de las casillas o celdas de disminución se obtiene en dos o más casillas


INDICACIONES PARA LA OBTENCION ADECUADA DE UNA SOLUCION BASICA FACTIBLE1

§ Las variables básicas son aquellas cuyo valor es positivo o las nulas indicadas por E en el caso de las soluciones básicas degeneradas.

§ Puede haber líneas (filas o columnas) con disponibilidad nula y no estar saturadas

§ Cuando se asigna la mayor cantidad posible a una casilla o celda y esta no es la n+m-1, únicamente se satura una línea que puede ser la fila o la columna. La no saturada continúa con disponibilidad nula.

§ Cuando la mayor cantidad posible que se puede asignar a una casilla es cero entonces esto se indica con E (en soluciones básicas degeneradas)

§ Al modificar un circuito, únicamente una variable básica (>0) se vuelve libre (=0), es decir, si al modificar un circuito dos o mas variables quedan con valor nulo (C=0), solamente una de ellas se vuelve libre, las demás quedan con valor cero, pero son básicas y se pueden denotar con E.

§ Si al modificar un circuito, la máxima cantidad que puede tomar la variable que entra es E, entonces la suma y la resta tienen las siguientes propiedades:

Xij+E=Xij si Xij>0
Xij-E=Xij si Xij>0
E+E=E
E-E=0

Para resolver problemas de Costo de transporte que correspondan a una solución básica degenerada se debe haber estudiado previamente el método de la esquina noroeste o el método de Vogel y para optimizar la solución se debe haber estudiado el método de las variables duales. Se recomienda consultar en este mismo blog. El método de la esquina noroeste y el método de Vogel. En los dos casos la optimización se hizo por el método de las variables duales.


En el siguiente enlace se encuentra un ejercicio aplicado a un caso de solución básica degenerada en los costos de transporte


http://spreadsheets.google.com/pub?key=pAAIO2lY9BwLkLXX0s0N-Wg
[1] MORA, Héctor. Programación Lineal. Universidad Nacional de Colombia.

SOLUCIONES BASICAS Y OPTIMAS DEL COSTO LOGISTICO DE TRANSPORTE

1. SOLUCIONES BASICAS DEL COSTO LOGISTICO DE TRANSPORTE.

Las soluciones básicas corresponden a la primera solución y esta se encuentra con la primera distribución del producto o material entre los orígenes y los destinos, representados en una tabla o matriz. El costo de la solución básica se encuentra por la sumatoria de la multiplicación de los valores positivos contenidos en la matriz de distribución básica por el respectivo costo unitario de transporte entre el origen y el destino en cuestión.

La primera distribución entre otros métodos se puede hallar por:

§ El método de la Esquina Noroeste.
§ El método de Vogel
§ El método de la fila de menor costo
§ El método de la columna de menor costo
§ El método de la matriz de menor costo
§ Por tanteo, siempre y cuando guarde el equilibrio entre la oferta de los orígenes y la demanda de los destinos.

La solución básica es el punto de partida para empezar a encontrar gradualmente la solución optima (costo mínimo de transporte) por la aplicación de otros métodos.

2. SOLUCIONES ÓPTIMAS DEL COSTO LOGISTICO DE TRANSPORTE.

Para encontrar las soluciones óptimas se utilizan los métodos de:

§ Las variables Duales
§ El circuito (Stepping Stone)

El método de las variables duales ya se desarrollo en este mismo blog, donde se utilizo como solución básica el método de la esquina noroeste y luego se optimizo por el método de las variables duales.

También se utilizo el método de las variables duales para optimizar la solución básica encontrada por el método de vogel

El método del circuito ya se desarrollo en este mismo blog. Ver archivo del blog denominado método del circuito (Stepping Stone).

La solución óptima corresponde al costo total mínimo de transporte desde los orígenes hasta los destinos. El costo de la solución óptima se encuentra por la sumatoria de la multiplicación de los valores positivos contenidos en la matriz de distribución óptima por el respectivo costo unitario de transporte entre el origen y el destino en cuestión.

De la matriz de la distribución óptima se puede hacer la representación grafica de los flujos de materiales entre los orígenes y los destinos.

METODO DEL CIRCUITO (STEPPING STONE)

El método de Stepping Stone, se utiliza para buscar soluciones óptimas del costo de transporte. Para iniciar se requiere de una solución básica calculada a partir de una primera distribución que se puede encontrar por cualquiera de los siguientes métodos: Esquina noroeste, Vogel, Costo mínimo de filas, Costo mínimo de columnas, costo mínimo de la matriz, o simplemente una distribución hecha al tanteo que guarde los requerimientos de oferta y de demanda

En este método se toman las variables libres, es decir aquellas que en la tabla o matriz de distribución aparecen con valor cero. A las variables libres se les calcula el costo reducido, el cual indica la modificación que tendrá la función objetivo por cada unidad que aumente la variable libre. En cada iteración una variable libre entrara a la base de solución y una variable básica saldrá de la base de solución.

Si la variable libre se incrementa en una unidad, esto afectara la fila y la columna de la variable libre, rompiéndose el equilibrio entre la oferta y la demanda, el cual debe reestablecerse modificando variables básicas (aquellas que tienen valor positivo diferente de cero) aumentándolas o disminuyéndolas hasta que se logre el equilibrio entre la oferta y la demanda en toda la tabla. El aumento en la matriz se indica con un mas y la disminución con un menos. Se inicia con el + de la variable libre en cuestión y luego se coloca alternadamente menos y mas en variables básicas hasta lograr el equilibrio o cerrar el circuito

A continuación se describe el procedimiento detallado y para entenderlo se requiere consultar el ejercicio ilustrativo que se encuentra en el siguiente enlace:

http://spreadsheets.google.com/pub?key=pAAIO2lY9BwKRL1UqWAjmdg

PROCEDIMIENTO METODO DEL CIRCUITO (STEPPING STONE)

1). ENCONTRAR LA DISTRIBUCION DE TRANSPORTE (repetitivo hasta encontrar la optima)

Se inicia con la primera distribución por cualquiera de los métodos mencionados anteriormente para las soluciones básicas. La distribución básica se va ajustando gradualmente por la aplicación repetitiva y completa del procedimiento hasta encontrar la distribución óptima.

2) CALCULO DEL COSTO DE LA DISTRIBUCION. (Repetitivo para cada distribución)

Se calcula el costo de la distribución, multiplicando el costo unitario de transporte (cuadro pequeño en la matriz del ejemplo del enlace) por el valor de la variable básica (cuadro grande en la matriz), que indica el número de unidades a transportar entre el origen y el destino. El primer costo corresponde a la solución básica, aplicando el procedimiento completo repetitiva mente se logra el costo óptimo (costo mínimo de transporte)


3) CALCULO DEL COSTO REDUCIDO DE LAS VARIABLES LIBRES (repetitivo para cada distribución hasta que no existan costos reducidos negativos, esto indica la solución óptima)

Se calcula para todas y cada una de las celdas de la tabla o matriz que corresponden a variables libres. Se inicia colocando un + en la celda, lo que descompensa la fila y la columna correspondientes, para compensarlas se coloca alternadamente menos y mas, siempre en celdas de variables básicas y se gira siempre en ángulos de 90 grados hasta cerrar el circuito, es decir quedar al frente de la celda que se inicio. En el ejercicio del enlace el primer circuito es C12 (+), C11 (-), C21 (+) y C22 (-) con lo que se cierra el circuito. El costo reducido para el circuito descrito es C12 = 9-5+3-5 = 2. Análogamente se repite para todas las demás celdas con variables libres. Cuando se obtienen costos reducidos negativos, es por que no se ha llegado a la solución óptima. Si por el contrario los costos reducidos son todos positivos es porque se ha llegado a la solución óptima.

4) DETERMINAR LA VARIABLE QUE ENTRA (repetitivo Para encontrar nueva distribución)

La variable que entra es la de menor costo reducido, es decir el más negativo, para este caso del ejemplo del enlace, la variable que entra es X32 =-9. Y corresponde en este caso al último circuito de la primera iteración o primera distribución.

5) DETERMINAR LA VARIABLE QUE SALE (repetitivo para encontrar nueva distribución)

Una ves escogida la variable que entra, se busca en su circuito el menor Xij contenido en las celdas con signo negativo, esta celda corresponde a la variable básicica que sale. Para este caso del ejemplo del enlace en la primera iteración el X33 por contener el menor valor (12) de las celdas con signo negativo y que forman parte del circuito es la variable que sale. Para mayor claridad se describe el circuito: X32(+)=0; X33(-)=12; X23(+)=3 y X22(-)=14.


6) ENCONTRAR NUEVA DISTRIBUCIÓN (Se continua con pasos 2, 3, 4 y 5 cuantas veces sea necesario)

Para encontrar la nueva distribución se toma la distribución anterior, el valor de la variable que sale en este caso 12, se resta de las celdas del circuito que tienen signo negativo (X33 y X22) y se le suma a las celdas del circuito que tienen signo positivo (X32 y X23). Obteniéndose de esta forma la nueva distribución, que permite calcular un nuevo costo de transporte más cercano al óptimo y de ser necesario se repite el procedimiento hasta encontrar el costo óptimo

METODO DE LA ASIGNACION

Es un método especial en la programación lineal del método de transporte. Se puede utilizar para asignar trabajos a maquinas, personas a tareas y el objetivo es optimizar. Por ejemplo:

§ se pueden asignar los trabajos a las maquinas de manera que se obtenga el costo mínimo,

§ se pueden asignar las personas a las tareas en función de una escala de calificación de cada persona para cada tarea.

Este método se aplica para solucionar problemas que tienen las siguientes características:

§ Tenemos n cosas para distribuirlas entre n destinos
§ Cada cosa debe ser asignada a un único destino
§ Solo podemos utilizar un criterio (por ejemplo: Costo Mínimo; Utilidad máxima; tiempo mínimo )

A continuación se suministra un enlace para consultar un ejercicio aplicado a la asignación de n trabajos a n maquinas en función del costo. En seguida del enlace se describe el procedimiento para la aplicación del método utilizando tablas o matrices.


ENLACE EJERCICIO APLICADO

http://spreadsheets.google.com/pub?key=pAAIO2lY9BwK23F7AuPfXcQ&gid=0

PROCEDIMIENTO PARA LA APLICACIÓN DEL METODO DE LA ASIGNACION

1) En cada fila se toma la cifra o valor más bajo y se resta de si mismo y de todos los demás valores o cifras de la misma fila y se anota el resultado en el lugar correspondiente de la tabla o matriz (entonces habrá como mínimo un cero en cada fila)


2) En cada columna se toma la cifra o valor más bajo y se resta de si mismo y de todos los demás valores o cifras de la misma columna y se anota el resultado en el lugar correspondiente de la tabla o matriz (entonces habrá como mínimo un cero en cada columna)

3) Aplicamos la prueba de la línea Así: Cubrimos o tapamos todos los ceros trazando líneas a lo largo de las filas o las columnas, se empiezan a trazar por aquellas que en la misma fila o en la misma columna cubran el mayor número posible de ceros. Si el número mínimo de líneas para cubrir todos los ceros es igual a n se ha llegado a la solución óptima. Si el número mínimo de líneas para cubrir todos los ceros es diferente de n, entonces existe otra solución mejor o más optima (ver ejercicio del enlace, se utiliza color rojo para las líneas en columnas B, C y D; y en la línea de la fila V).
Nota: La razón por la cual utilizamos color azul blanco en lugar de tachar las filas y columnas con una línea es por que al publicar el archivo como pagina Web para lograr el enlace estas se distorsionan y se corren.
Si existe otra solución continuamos con el paso 4

4) Tomamos la cantidad mínima de líneas que cubran todos los ceros (en este caso pueden ser las del paso 3) e identificamos el menor número que no quedo cubierto por las líneas, lo restamos de si mismo y de todos los demás números que no quedaron cubiertos por la líneas en la matriz o tabla. Este menor numero también lo sumamos a todos los números que se encuentran cubiertos por las intersecciones formadas por la líneas que tachan filas o columnas. Volvemos a aplicar el paso 3, es decir a cubrir con líneas todos los ceros. (Color rojo líneas en filas I, III y V; líneas en columnas B y D). De ser necesario volvemos aplicar el paso 4 y así sucesivamente……..

PROXIMOS TEMAS DEL BLOG APUNTES DE PRODUCCION Y LOGISTICA

De manera gradual y en el tiempo al cual hice referencia en la descripción del blog, en orden aleatorio se subirán a este blog los siguientes temas:

§ Pronósticos de Corto plazo, para la programación de la producción ( métodos: promedio móvil, promedio móvil ponderado, suavizamiento exponencial, suavizamiento exponencial con corrección y ajuste por tendencia)

§ Pronósticos de largo Plazo, para la planeación de la producción (métodos: Regresión lineal simple, regresión logarítmica, regresión exponencial y regresión lineal múltiple)

§ Plan agregado de la producción con ejemplos sencillos

§ Plan maestro de la producción con ejemplos sencillos

§ Plan de requerimiento de materiales con ejemplos sencillos

§ Métodos de asignación de trabajos a máquinas y a hombres, con ejemplos sencillos

§ Presupuesto del costo de producción y gastos de ventas, administración y financieros en las empresas industriales, ejemplo ilustrativo sencillo

§ Distribución de planta por producto, ejercicio aplicado sencillo

§ Distribución de planta por procesos, ejercicio aplicado sencillo

§ Distribución de planta por componente fijo sencillo ( graficas de Gant, sistema CPM y sistema Pert, los dos últimos incluyendo costos)

§ Estado Financiero de Costo de producción y costo de venta, ejemplo ilustrativo sencillo

§ Costos de producción por procesos con todos sus registros contables y financieros

§ Costos de producción por ordenes con todos sus registros contables y financieros

§ Liquidación Nomina de producción y contratos a termino indefinido

§ Costo total en las empresas industriales, subdivididos en fijos y variables

§ Punto de equilibrio en las empresas industriales

§ Algunos aspectos importantes en el control de: La planeación, la preparación y la ejecución de la producción

§ Cinco Modelos de inventarios, ejercicios aplicados sencillos

§ Sistema periódico y continuo de inventarios con todos sus registros contables y financieros

§ Clasificación ABC de los inventarios de la producción con ejemplo ilustrativo sencillo

§ Valoración de los Inventarios ( métodos: promedio ponderado, ueps y peps), ejemplos ilustrativos sencillos

§ Medios de transporte desde y hacia la fabrica, ventajas y desventajas

§ Transporte en la fabrica, de recorrido horizontal, recorrido vertical y nivel elevado

§ Transporte internacional como eslabón de la cadena logística

§ Procesamiento de pedidos

§ Recepción de materias primas y expedición de productos

§ Almacenamiento de materias primas y productos

§ El producto de la logística

§ Distribución de productos y servicio al cliente

§ Anotaciones sobre algunos procesos industriales (corte o desbaste, producción, ensamble y acabados)


Cordialmente

Luciano Evaristo Arismendy Cárdenas
Instructor T.C
Centro de Gestión industrial

BIBLIOGRAFIA DE PRODUCCION Y LOGISTICA

§ ARBONES, Eduardo. LOGISTICA EMPRESARIAL. Boixareu Editores.
§ BALLESTEROS, Victor. ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION, Editorial Unisur
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§ BRONSON, Richard. INVESTIGACION DE OPERACIONES. Editorial Mc Graw Hill. 1990
§ BUFFA, Elwood. Y TAUBERT, Willam. SISTEMAS DE PRODUCCION E INVENTARIO. Planeación y control. Edit LIMUSA 1978.
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§ TARQUIN, Anthony y BLANK, Leland. INGENIERIA ECONOMICA, editorial Mc Graw Hill.
§ ULLMANN, John. METODOS CUANTITATIVOS EN ADMINISTRACION. Editorial Mc Graw Hill. 19??
§ UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA (CARACAS VENEZUELA). INVESTIGACION DE OPERACIONES SOLUCIONES ÓPTIMAS. Editorial UNISUR.
§ VARELA, Rodrigo. EVALUACION ECONOMICA DE INVERSIONES. Editorial Norma.

METODO GRAFICO DE LA PROGRAMACION LINEAL

1. GENERALIDADES.

La programación lineal es un modelo matemático que permite asimilar una cantidad de recursos a la satisfacción de varias demandas, en tal forma que se optimice un objetivo y a la vez se satisfaga otras condiciones dadas (restricciones). Todo problema de programación lineal consta de las siguientes partes:

1. Función Objetivo: se puede plantear en términos de ganancias o de costos y se utilizan variables previamente definidas. La función objetivo debe de ser optimizada.

Un proceso de optimización puede consistir en la maximización o en la minimización. Maximización en el caso de las ganancias y Minimización en el caso de los costos

2. Restricciones: Son relaciones que se establecen entre las variables estructurales que conforman la función objetivo y generalmente están definidas en términos de desigualdades (<>), también pueden incluir igualdades.


Para resolver los problemas de programación lineal generalmente se utilizan los siguientes métodos:

1. Método Grafico. Se utiliza cuando el número de variables estructuras del problema son máximo 3

2. Método Analítico. Recibe el nombre de método Simplex y se pueden resolver problemas con muchas variables

2. PASOS DEL PROCEDIMIENTO DEL METODO GRAFICO.

Los pasos para resolver un problema por el método grafico son:

§ Plantear el problema en forma matemática
§ Graficar y Analizar las ecuaciones de las restricciones
§ Calcular las soluciones de los puntos extremos de la región factible
§ Calcular las funciones objetivos con las soluciones encontradas de los puntos extremos de la región factible
§ Determinar la solución optima y graficar la función objetivo optima

Para ilustrar el procedimiento, consulte ejercicio desarrollado a continuación.






EJERCICIO DE MAXIMIZACION DE UTILIDADES

Una empresa fabrica dos productos A y B. las utilidades que se obtendrán en estos dos productos serán de $5 y $8 por unidad respectivamente. Se desea saber el número de unidades que se deben fabricar de cada producto a fin de maximizar la utilidad, teniendo en cuenta las siguientes condiciones

La capacidad máxima de producción de la planta para el periodo es de de 37.500 unidades
El costo de producción del periodo no debe exceder de $ 600.000, con un costo unitario de $ 10 para el producto A y de $ 20 para el producto B
En el mercado se demandan dos lotes del producto A por cada lote del producto B y la demanda total para los dos productos (A y B) es de 70.000 unidades.

DESARROLLO

PASO 1. PLANTEAR EL PROBLEMA EN FORMA MATEMATICA

a) Definición de Variables.

X1= Numero de unidades a fabricar del producto A = Lote del producto A
X2=Numero de unidades a fabricar del producto B= Lote del producto B

b) Planteamiento de la Función Objetivo.

§ Utilidades del producto A por unidad $ 5
§ Utilidades del producto B por unidad $8

Entonces la función objetivo se debe plantear en términos de utilidades y lo que se busca es maximizarla

Z= 5X1 + 8X2
Z= Utilidad por la venta de los productos A y B
5X1 = Utilidad por la venta de las unidades del producto A
8X2= Utilidad por la venta de las unidades del producto B

c) Planteamiento de las restricciones en términos matemáticos

§ La máxima capacidad de producción para la planta en el periodo es de 37.500 unidades entonces:

X1 + X2 <> 0

PASO 2. GRAFICAR Y ANALIZAR LAS RESTRICCIONES

Consultar grafica en el siguiente enlace:

http://docs.google.com/Doc?id=dgq47jgb_35cf2dnzc9

§ Ecuación de la Restricción 1 (en la grafica del enlace EC R1)

X1 + X2 < 37.500

Cuando X1 = 0 entonces X2= 37.500
Cuando X2 = 0 entonces X1 = 37.500

Entonces los puntos de corte con los ejes son

X1= 37.500
X2= 37.500


§ Ecuación de la Restricción 2 (en la grafica del enlace EC R2)

10X1 + 20X2 < 600.000

Cuando X1 = 0 entonces X2= 30.000
Cuando X2 = 0 entonces X1 = 60.000

Entonces los puntos de corte con los ejes son

X1= 60.000
X2= 30.000


§ Ecuación de la Restricción 3 (en la grafica del enlace EC R3)

2X1 + X2 < 70.000

Cuando X1 = 0 entonces X2= 70.000
Cuando X2 = 0 entonces X1 = 35.000

Entonces los puntos de corte con los ejes son

X1= 35.000
X2= 70.000

§ Análisis de las Restricciones.

Los puntos que se encuentran por debajo de las rectas (ver flechas en la grafica) de las restricciones, son soluciones que cumplen con la condición menor igual, sin embargo no todos los puntos forman parte de la solución específica del problema planteado.

El área encerrada por el polígono (oabcd) corresponde a la región factible y contiene los puntos de solución para el problema planteado, incluyendo el punto que permite la optimización, en este caso la maximización de utilidades

Todas las soluciones del problema planteado están en la región factible.

Cada punto extremo (o,a,b,c,d) que conforman el polígono es una solución factible, y con el sistema de ecuaciones de las restricciones podemos hallar sus coordenadas, es decir los valores de X1 y X2.


PASO 3. CALCULAR LAS SOLUCIONES DE LOS PUNTOS EXTREMOS DE LA REGION FACTIBLE.

La soluciones de los puntos o, a y d, ya se conocen. El punto o es el origen del sistema (X1=0 y X2=0). El punto b es la intersección del eje Y (X2) del sistema coordenado con la recta de la ecuación de la restricción 2 (X1=0 y X2=30.000). El punto d es la intersección del eje X (X1) con la recta de la ecuación de la restricción 3 (X1=35.000 y X2=0)

Las coordenadas o soluciones de los puntos b y c los calculamos así:

§ Punto b. De las ecuaciones de la restricción 1 y 2 calculamos las coordenadas del punto b

10X1 + 20X2 = 600.000 (Ecuación restricción 2)
-10X1- 10X2 = -375.000 (Ecuación restricción 1 multiplicada por menos diez)
0 + 10X2 = 225.000 entonces se despeja X2
X2 = 22.500 reemplazando X2 en cualquiera de las ecuaciones de restricción 1 o 2
X1 =37.500 – X2 = 37.500 – 22.500 = 15.000
Entonces solución punto b
X1= 15.000
X2= 22.500
§ Punto c. De las ecuaciones de la restricción 3 y 1 calculamos las coordenadas del punto c

2X1 + 1X2 = 70.000 (Ecuación restricción3)
-2X1 - 2X2 = -75.000 (Ecuación restricción 1 multiplicada por menos dos)
0 - 1X2 = -5000 entonces
X2= 5.000
Reemplazando X2 en la ecuación de la restricción 1
37.500-X2=X1= 37.500-5.000 = 32.500.

Entonces solución punto c
X1= 5.000
X2= 32.500

PASO 4. CALCULAR LAS FUNCIONES OBJETIVOS CON LAS SOLUCIONES ENCONTRADAS DE LOS PUNTOS EXTREMOS DE LA REGION FACTIBLE


Función objetivo: Z = 5X1 + 8X2

§ Punto a: (X1=0; X2=30.000) entonces Z=240.000
§ Punto b: (X1=15.000; X2=22.500) entonces Z=255.000
§ Punto c: (X1=32.500; X2=5000) entonces Z=202.500
§ Punto d: (X1=35.000; X2=0) entonces Z= 175.000

PASO 5. DETERMINAR LA SOLUCION ÓPTIMA Y GRAFICAR LA FUNCION OBJETIVO OPTIMA.

En el paso anterior se encontró que el mayor Z es
Z= 255.000.
Entonces la solución óptima corresponde al punto b cuyas coordenadas son
X1 = 15.000 y
X2 = 22.500
Entonces para que la empresa obtenga la utilidad máxima, debe fabricar 15.000 unidades de articulo A y 22.500 unidades de articulo B
La función objetiva óptima será:
Z= 5X1 + 8X2 = 255.000 = 5*15.000 + 8*22.500 = 255.000
Los puntos de corte para graficar la función objetivo se obtienen así:
§ Si X1= 0 entonces X2 = 31.875 (punto de corte con el eje X2)
§ Si X2=0 entonces X1 = 51.000 ( punto de corte con el eje X1)

EJERCICIO DE MINIMIZACION DE COSTOS
Este ejercicio se deja propuesto para que usted lo trabaje, el enunciado es:

Una madre desea que sus niños obtenga cierta cantidad de elementos nutritivos de los cereales del desayuno, los niños pueden escoger entre tronados o dorados o una mezcla de los dos. De su desayuno deben obtener cuanto menos 1 miligramo de tiamina, 5 miligramos de miacina, y 400 calorías. Una onza de tronados contiene 0.1 miligramo de tiamina, 1 miligramo de miacina y 110 calorías. Una onza de dorados contiene 0.25 miligramos de tiamina, 0,25 miligramos de miaciana y 120 calorías. Una Onza de tronados vale $38 y una de doras $42. Encontrar la mejor alternativa para minimizar costos.

METODO SIMPLEX, OPTIMIZACION DE COSTOS O UTILIDADES EN LA PRODUCCION

METODO SIMPLEX
(Maximización y Minimización)

Es un procedimiento algebraico que contempla una serie de pasos repetitivos, con los cuales, progresivamente se va encontrando una solución optima (maximizar o minimizar según el caso una función objetivo). El método Simplex puede resolver problemas con cualquier número de variables y restricciones, sin embargo cuando el problema involucra más de 4 variables, la resolución resulta dispendiosa, larga y en estos casos es mejor dejar que un programa para computadores de programación lineal haga los cálculos.

Sin embargo, para poder entender los pasos de la programación lineal, para poder formular las ecuaciones algebraicas usadas en el programa de computación y para poder interpretar los resultados del programa, es necesario seguir manualmente el método simplex un buen número de veces.

PROCEDIMIENTO PARA LA APLICACIÓN DEL METDO SIMPLEX.

La descripción teórica de los pasos para la aplicación del método simples, para la resolución de problemas de maximización o minimización, puede parecer un poco larga y compleja, sin embargo su aplicación resulta muy sencilla en la resolución de los problemas si se lee detalladamente y se sigue el ejercicio que se presenta resuelto EN EL SIGUIENTE ENLACE

http://spreadsheets.google.com/pub?key=pAAIO2lY9BwLtbLjJDqROew

1. FORMULAR EL PROBLEMA EN TERMINOS ALGEBRAICOS.

Comprende la formulación de la función objetivo y de las restricciones a que esta sujeta la función, teniendo en cuenta las variables que intervienen en el caso o problema. La función objetivo debe de ser maximizada o minimizada según el planteamiento del problema y considerando las restricciones de las variables

Ejemplo de función objetivo:

Z = 4X1 + 6X2

Z= costo total de producción de la empresa
X1= unidades producidas del articulo A
4= costo de producción de una unidad de articulo A
X2= unidades producidas del articulo B
6= costo de producción de una unidad de articulo B
4X1= costo total de producción del articulo A
6X2= costo total de producción del articulo B

La optimización de esta función consiste en minimizar el costo de producción en la empresa


Ejemplo de restricciones

Para fabricar una unidad de articulo A se requiere 1 unidad de materia prima C y 3 unidades de materia prima D

Para fabricar una unidad de artículo B se requiere 2 unidades de materia prima C y 1 unidad de materia prima D

El proveedor de la materia prima C solo suministra cantidades iguales o mayores a 80 unidades
El proveedor de la materia prima D solo suministra cantidades iguales o mayores a 75 unidades.

Entonces las restricciones quedan Así:

§ Primera restricción: 1X1 + 2X2 > 80 unidades de materia prima C
§ Segunda restricción 3X1 + 1X2 > 75 unidades de materia prima D

X1= unidades producidas del articulo A
X2= unidades producidas del articulo B
1X1= unidades consumidas de materia prima C para el articulo A
2X2= unidades consumidas de materia prima C para el articulo B
3X1= unidades consumidas de materia prima D para el articulo A
1X2= unidades consumidas de materia prima D para el articulo B

2. INTRODUCIR LAS VARIABLES DE HOLGURA O EXCEDENTE (H), LAS VARIABLES ARTIFICIALES (A) EN LAS RESTRICCIONES Y EN LA FUNCION OBJETIVO

2.1. INTRODUCIR LAS VARIABLES DE HOLGURA O EXCEDENTE (H), EN LAS RESTRICCIONES Y EN LA FUNCION OBJETIVO.

Cuando el problema es de maximización se introducen las variables de holgura o excedente en las restricciones y en la función objetivo.

Al introducir las variables de holgura o excedente (H) las desigualdades de las restricciones, se convierten en igualdades. Para cada restricción se agrega una variable de holgura o excedente con coeficiente 1 y para que las otras variables tengan representación en la restricción se escriben pero con coeficiente cero. Habrá tantas variables de holgura o excedente como restricciones existan teniendo en cuenta las reglas. Para agregar estas variables se debe tener en cuenta las siguientes reglas:

§ Se suman cuando la restricción es de tipo menor igual que ( < )

§ Se restan cuando la restricción de de tipo mayor igual que ( > )

§ No se necesitan cuando la restricción es una igualdad (=)

Las variables de holgura o excedente llevaran coeficiente cero en la función objetivo

2.2. INTRODUCIR LAS VARIABLES ARTIFICIALES (A) EN LAS RESTRICCIONES Y EN LA FUNCION OBJETIVO.

Cuando el problema es de minimización, se introducen las variables de holgura o excedente y también las variables artificiales, tanto en las restricciones como en la función objetivo.

Las variables artificiales en los problemas de minimización se agregan o utilizan cuando:

§ Las restricciones son de tipo mayor o igual que ( > )

§ Las restricciones son de tipo igual (=)

Habrá tantas variables artificiales como restricciones existan de tipo > o =

El coeficiente de las variables artificiales en la función objetivo, debe de ser un numero mucho más grande que cualquier otro que intervenga en el problema, positivo si la función se va a minimizar y negativo si la función se va a maximizar

2.3 EJEMPLOS DE INTRODUCCION DE VARIABLES DE HOLGURA O EXCEDENTE Y ARTIFICIALES EN LAS RESTRICCIONES Y EN LA FUNCION OBJETIVO

§ Primera restricción con variables de holgura y artificiales en problema de minimización.

1X1 + 2X2 – 1H1 – 0H2 + 1A1 + 0A2 = 80

§ Segunda restricción con variables de holgura y artificiales en problema de minimización.

3X1 + 1X2 – 0H1 – 1H2 + 0A1 + 1A2 = 75

§ Función objetivo con variables de holgura y artificiales en un problema de minimización.

Z = 4X1 + 6X2 + 0H1 + 0H2 +100A1 + 100A2

Para la variable artificial en la función objetivo, tomamos un coeficiente grande, mínimo de 10 veces el valor absoluto del mayor coeficiente de la función objetivo ( en este caso 6x10 = 60) sin embargo tomas un coeficiente mas grande (100)

3. CONSTRUCCION DE LA TABLA DE LA PRIMERA SOLUCION

Para observar la descripción de los pasos………. Se debe consultar el ejercicio aplicado, resuelto en el enlace mencionado anteriormente

§ La parte central de la tabla entre la columna 4 y la penúltima columna contiene toda la información relacionada con las variables y los coeficientes de las variables que intervienen en el planteamiento y solución del problema así:

§ La fila 2 contiene el nombre de las variables originales del problema: X1, X2, X3,….,Xn. Seguidas de las variables de holgura o excedente H1, H2, H3,……., Hn. Seguida de las variables artificiales A1, A2, A3,……, An. Si estas últimas forman parte del planteamiento del problema. Para el ejemplo aplicado mostrado en el enlace o dirección mencionada son: A1, A2; H1, H2; A1, A2.

§ La fila 1 o fila Cj, contiene todos los coeficientes de: las variables originales del problema, las de holgura o excedente y las artificiales que forman parte de la función objetivo, Estos coeficientes no cambian en las siguientes tablas de solución. Para el ejemplo aplicado mostrado en el enlace o dirección mencionado los coeficientes son: 4; 6; 0; 0; 100; 100. Estos coeficientes corresponden según el caso a los beneficios o costos por unidad.

§ De la tercera fila hasta la antepenúltima fila contiene los coeficientes de: las variables originales (X), las de holgura o excedente (H) y las artificiales (A), que forman partes de las restricciones a que esta sujeta la función objetivo. Para el ejemplo aplicado mostrado en el enlace o dirección mencionado son

1; 2; -1; 0; 1; 0 (fila 3)
3; 1; 0; -1; 0; 1 (fila 4 o antepenúltima fila)


§ La primera columna de la tabla encabezada con B, muestra las variables que se eligieron para la tabla de primera solución. Para el ejemplo aplicado mostrado en el enlace o dirección mencionada son A1 y A2.

§ La segunda columna de la tabla encabezada con Ci, muestra los coeficientes de las variables que se eligieron para la tabla de primera solución Para el ejemplo aplicado mostrado en el enlace o dirección mencionada los coeficientes son 100 y 100

§ La tercera columna de la tabla encabezada con Po, muestra las cantidades de cada recurso que hay disponibles y corresponde al coeficiente independiente o termino a la derecha de la igualdad de las ecuaciones de las restricciones. Para el ejemplo aplicado mostrado en el enlace o dirección mencionada los coeficientes independientes son 80 y 75 y estarían representando las cantidades de las materias primas C y D

§ La penúltima fila o fila Zj se refiere al beneficio o costo que se da al introducir en la solución una unidad de las diferentes variables contenidas en esa fila desde la columna 4 hasta la penúltima columna. El Zj se calcula así

Zj= sumatoria (Ci*Cvr).

El subíndice j varía desde la columna 4 hasta la penúltima columna

Ci=coeficientes de las variables de la función objetivo y que además forman parte de la solución de la tabla en cuestión

Cvr= coeficientes de las variables respectivas según las columnas y que forman parte de las restricciones.

El Zj de la tercera columna encabezada con Po y que contiene los coeficientes independientes de las variables de restricción, representa el beneficio total para la solución y se calcula así:

Zj= sumatoria (Ci*Cind). = Z3

Ci= coeficientes de las variables de la función objetivo y que además forman parte de la solución de la tabla en cuestión

Cind= Coeficiente independiente de las restricciones

Para el ejemplo aplicado, mostrado en el enlace o dirección mencionada, calculamos los Zj para las columnas 3, 4 y 5

Zj=Z3= 100*80 + 100*75 = 15,500
Zj=Z4= 100*1 + 100*3 = 400
Zj=Z5= 100*2 + 100*1 =300

§ La ultima fila o fila Cj – Zj. Contiene el beneficio o costo neto por unidad, que se obtiene al introducir a la solución una unidad de esa variable. El beneficio costo neto se halla por la diferencia entre el Cj y el Zj de cada columna. En un problema de maximización cuando todos los resultados de Cj-Zj son cero o negativos es por que se ha llegado a la solución optima. En un problema de minimización cuando todos los resultados de Cj-Zj son cero o positivos es por que se ha llegado ala solución optima.

Para el ejemplo aplicado, mostrado en el enlace o dirección mencionada, calculamos los Cj- Zj para las columnas 4 y 5

Cj – Zj = C4-Z4= 4-400 =-396

Cj – Zj = C5-Z5= 6-300 =-294

Así termina la construcción de la tabla de primera solución, las variables que se habían considerado en esta tabla para la primera solución eran A1 y A2 y se muestran en la columna 1 de la tabla, encabezada con B, el valor que le corresponde a cada variable se toma de la columna 3, encabezada con Po y es A1 = 80 y A2= 75. Las demás variables X1, X2, H1 y H2 no aparecen en esta columna por lo tanto su valor es de cero para cada una, de tal manera que estos resultados se constituyen en la primera solución. Es decir A1=80; A2=75; X1=0; X2=0; H1=0 y H2 = 0

4. DETERMINAR LA VARIABLE QUE DEBE INCORPORARSE A LA SOLUCION

4.1 Problemas de Minimización. Siempre que existan valores negativos en la fila (Cj-Zj), es posible obtener una mejor solución. El menor valor negativo en la fila (Cj-Zj), indica la variable que debe incorporarse y corresponde a la que encabeza la columna que tiene ese menor valor negativo. Para el ejemplo aplicado, mostrado en el enlace o dirección mencionada la variable que se incorpora es X1, por que esta en la columna que contiene el menor valor negativo de la fila (Cj-Zj) y que es -396

4.2 Problemas de Maximización. Siempre que existan valores positivos en la fila (Cj-Zj), es posible obtener una mejor solución. El mayor valor positivo en la fila (Cj-Zj), indica la variable que debe incorporarse y corresponde a la que encabeza la columna que tiene ese mayor valor Positivo.

5. DETERMINAR LA VARIABLE QUE DEBE SALIR DE LA SOLUCION.

En la tabla en cuestión, se divide los coeficientes independientes que forman parte de las restricciones, entre los coeficientes de la variable que debe incorporarse a la solución y que ya ha sido determinada en el paso anterior. Los resultados se colocan en la ultima columna encabezada con F y se elige la fila con el menor resultado obtenido en las divisiones, en el interfecto de esa fila con la columna 1 encabezada con B se encuentra la variable que debe salir de la solución. Para el ejemplo aplicado, mostrado en el enlace o dirección mencionada, el menor valor obtenido en las divisiones es 25,000 y se encuentra en la cuarta fila, en el interfecto de esta fila con la columna 1 se encuentra la variable A2, la cual debe salir de la solución. En resumen la variable que entra o se incorpora a la solución es X1 y la variable que sale de la solución es A2

6. CALCULAR LOS NUEVOS VALORES DE LA FILA PARA LA VARIABLE QUE SE INCORPORA O ENTRA A LA SOLUCION.

Se debe construir la tabla de segunda solución así:

§ En la primera y segunda columna se muestra respectivamente el nombre y los coeficientes de las variables que van e intervenir en la segunda solución. Para el ejemplo aplicado, mostrado en el enlace o dirección mencionada, la variable A1 cuyo coeficiente es 100 proviene de la tabla de primera solución, la variable X1 es la que se incorpora y su coeficientes como se indica en la función objetivo es 4

§ Para calcular los nuevos valores de la fila de la variable que entra o se incorpora a la solución, se dividen los valores de la fila de la variable que sale en la tabla de la primera solución por el elemento interseccional fila-columna de la variable que sale, con la variable que entra localizado en la tabla de la primera solución. Para el ejemplo aplicado, mostrado en el enlace o dirección mencionada, los nuevos valores de la fila de la variable que entra para la tabla de segunda solución son 75/3; 3/3; 1/3; 0/3; -1/3; 0/3 y 1/3

7. MODIFICAR LAS FILAS RESTANTES DE LA TABLA DE PRIMERA SOLUCION, PARA TERMINAR DE CONFORMAR LA TABLA DE LA SEGUNDA SOLUCION.

A cada valor de las filas restantes a modificar en la tabla de la primera solución, séle resta el producto del valor ubicado en la misma fila pero en la columna de la variable que entra, con el valor ya calculado en la nueva fila de la variable según la columna en cuestión en la tabla de la segunda solución. Para el ejemplo aplicado, mostrado en el enlace o dirección mencionada, calculamos los valores para la fila A1 de la tabla de segunda solución con respecto a sus columnas 3, 4, 5, 6 y 7.


Fila A1; Columna 3 55= (80-1*25)
Fila A1; Columna 4 0= (1-1*1)
Fila A1; Columna 5 1.6667= (2-1*0.333)
Fila A1; Columna 6 -1= (-1-1*0)
Fila A1; Columna 7 0.3333= (0-1*(-0.333) etc.

8. TERMINAR LA TABLA DE SEGUNDA SOLUCION Y OBTENER LAS SEGUNDA SOLUCIÓN.

En la tabla de segunda solución se calculan las filas Zj y (Cj-Zj), se toma la segunda solución, y se analiza la fila (Cj-Zj), para saber si existen más soluciones, en caso de existir, se repite en forma análoga el proceso a partir del cuarto paso, cuantas veces se necesite, hasta encontrar la solución óptima. Para el ejemplo aplicado, mostrado en el enlace o dirección mencionada, la segunda solución es: X1=25; X2=0; H1=0; H2=0; A1=55 y A2 = 0.

En el mismo ejercicio la tercera solución se convierte en la optima, ya que todos los valores de (Cj-Zj) son mayores iguales a cero (caso de minimización) y esta solución es: X1=14; X2=33; H1=0; H2=0; A1=0 y A2= 0. y el costo mínimo es 254


Finalmente en la misma hoja de calculo se resuelve el mismo problema por el método Simples, pero previamente convirtiendo el problema de minimización en problema de maximización

METODO DE VOGEL, OPTIMIZACION DE LOS COSTOS DE TRANSPORTE

Para optimizar los costos de transporte se debe conocer la oferta de un producto que proviene de unos orígenes y la demanda del mismo producto, que conlleva a unos destinos. También se debe conocer el costo de transporte por unidad de producto entre los diferentes orígenes y los diferentes destinos.

El método del costo de transporte de Vogel permite hallar la solución inicial, pero no directamente la solución optima. Con este método se halla la distribución inicial de transporte de los orígenes a los destinos, cuyos resultados se consignan en una tabla o matriz, la cual se multiplica por la tabla o matriz de costos unitarios, obteniéndose la tabla o matriz de costo total de transporte, esta nos muestra todos los posibles costos entre los diferentes orígenes y los diferentes destinos del transporte. Por la sumatoria de los resultados de las filas o de las columnas en la matriz de costo total se obtiene el costo de transporte total.

Para encontrar la solución optima, se parte de la distribución encontrada por el método de Vogel, de la cual se calcula su costo, luego la distribución se expresa en forma dual (paso 4), se construye la tabla Cij (paso 5), se calcula la tabla de costos marginales (paso 6), esta nos indica si el costo es optimo o no, si no lo es, se halla una nueva distribución (paso7) y se vuelve a repetir el proceso completo desde el paso 3, cuantas veces sea necesario hasta encontrar las solución optima, la cual representa el costo mínimo de transporte entre los orígenes y los destinos. A continuación se describen todos los pasos para encontrar la solución optima de transporte, partiendo de la solución inicial por el método de Vogel.

La solución inicial que se encuentra por el método de Vogel, esta más cercana de la solución optima, que la solución inicial que se encuentra por el método de la esquina noroeste

PROCEDIMIENTO PARA LA SOLUCION DEL PROBLEMA:

1) BALANCEAR EL PROBLEMA: Si la cantidad ofrecida de un producto, difiere de la cantidad demandada de un producto se debe balancear el problema. Si hay deficiencia de oferta se debe incluir un nuevo origen para igualar la demanda pero con costo de transporte cero. Si hay deficiencia de demanda se debe incluir un nuevo destino para igualar la oferta pero con costo de transporte cero.

Consultar ejercicio ilustrativo en el siguiente enlace

http://spreadsheets.google.com/pub?key=pAAIO2lY9BwISpP2if7nhcA

2) HALLAR LA PRIMERA DISTRIBUCION POR EL METODO DE VOGEL

Se determina la diferencia entre los coeficientes de costo unitario de menor valor por fila y por columna y se halla la mayor diferencia, para asignar valores a la primera distribución. El procedimiento detallado es el siguiente:

2.1 Determinar la diferencia entre los dos coeficientes más pequeños, tanto para cada una de las filas, como para cada una de las columnas. Este procedimiento se aplica sobre la matriz de costos unitarios, después de haber introducido orígenes o destinos ficticios según el caso y si se requieren.

2.2 Hallar la fila o la columna con el resultado mayor obtenido según el paso anterior (2.1). Si es una sola no hay inconveniente. Si hay empate En la filas o columnas seleccionadas, por este criterio, se escoge la que permita en cualquiera de sus celdas una asignación de costo unitario menor, si el empate persiste se selecciona al azar y en esta fila o columna seleccionada, teniendo en cuenta la celda de menor costo unitario, se hace la asignación pero en la matriz escogida para la distribución. Se le asigna la máxima cantidad permisible de acuerdo con los requerimientos de la oferta de los orígenes y la demanda de los destinos. Posteriormente se tachan filas y / o columnas que ya cumplan con los requerimientos y se repiten los pasos 2.1 y 2.2 cuantas veces sea necesario hasta encontrar la primera distribución completa guardando los requerimientos de oferta y demanda.

Luego de construida la tabla o matriz de la primera distribución se verifica que cumpla con los requerimientos de oferta y de demanda y con la regla m+n-1 donde m es el número de filas de la matriz, n el numero de columnas y el numero de celdas ocupadas de la matriz debe ser igual a m+n-1, de no cumplirse se trata de una solución degenerada.

3) CALCULAR EL COSTO DE TRANSPORTE Z. Para calcular el costo de transporte Z, se requiere la matriz o tabla de la distribución hallada por el método de Vogel y la matriz o tabla de costo unitario, esta ultima muestra lo que vale transportar una unidad de producto entre cada origen específico y cada destino específico. Si en el problema o caso original no había equilibrio entre la oferta y la demanda, entonces en la matriz de costo aparece una columna o una fila, ficticia con costo cero.

Para calcular el costo total Z de la distribución en cuestión, se multiplica la matriz de la distribución hallada, por la matriz de costo unitario, obteniéndose la matriz de costo total Z.

Específicamente el costo total Z se halla por la sumatoria de los totales de las filas o también por la sumatoria de los totales de las columnas de la matriz de costo total Z

El costo hallado con la distribución encontrada por el método de Vogel generalmente no corresponde al costo óptimo, por lo tanto se debe hacer la verificación (numerales 4, 5 y 6) y si no es el óptimo se deben buscar nuevas distribuciones, hasta conseguir el costo óptimo (mínimo)


4) EXPRESAR LA DISTRIBUCION EN FORMA DUAL. Se asigna costo unitario a cada celda Cij ocupada en la tabla o matriz de la distribución hallada y se iguala a la sumatoria del componente se su respectiva fila (F) con el componente de la respectiva columna ( C ). De esta igualdad establecida se despeja el F o el C correspondiente según el caso. Por ejemplo si una celda ocupada en la matriz de la distribución es C31 a esta se le asigna el costo unitario (CU) y sus componentes serán la fila 3 (F3) y la columna 1 (C1) entonces CU = C31 = F3 + C1, de esta igualdad si se conoce F3 se despeja C1 y si lo que se conoce es C1 entonces se despeja F3.

Para iniciar el procedimiento del paso 4 se inicia con la primera fila entonces C11 = F1 + C1. El costo por unidad de producto entre el origen 1 y el destino 1 es C11. Se asume que C11=F1 y se despeja C1. Entonces C1 = C11-F1 = 0. Luego se plantean todas las demás ecuaciones entre los diferentes orígenes y destinos y se despeja F o C según el caso

Tenga en cuenta lo siguiente:

§ F1 = fila 1
F2 = fila 2
.
.
.
Fm = fila m


§ C1 = columna 1
C2 = columna 2
.
.
.
Cn = columna n


§ C11=F1+C1
C12=F1+C2
C13=F1+C3
.
.
.
C1n=F1+Cn


§ C21=F2+C1
C22=F2+C2
C23=F2+C3
.
.
.
C2n=F2+Cn

§ C31=F3+C1…………..Cm1=Fm+C1
C32=F3+C2…………..Cm2=Fm+C2
C33=F3+C3…………..Cm3=Fm+C3
. .
. .
. .
C3n=F3+Cn………… Cmn=Fm+Cn

Si los orígenes están en las filas y los destinos en las columnas entonces

§ C11= Costo entre el origen 1 y el destino 1
C12= Costo entre el origen 1 y el destino 2
.
.
.
C1n=Costo entre el origen 1 y el destino n

§ C21=Costo entre el origen 2 y el destino 1
C22=Costo entre el origen 2 y el destino 2
.
.
.
C2n=Costo entre el origen 2 y el destino n y así sucesivamente hasta la última fila (m):

§ Cm1=Costo entre el origen m y el destino 1
Cm2=Costo entre el origen m y el destino 2
.
.
.
Cmn=Costo entre el origen m y el destino n



5) CONSTRUCCION DE LA TABLA Cij. Tomamos los valores de F y C calculados con las ecuaciones del paso 4) y a cada F le sumamos su respectivo C para obtener cada resultado Cij. Conformándose de esta manera la tabla o matriz Cij


6) CONSTRUCCION DE LA TABLA DE COSTOS MARGINALES. Se obtiene restando de la matriz o tabla Cij hallada en el paso 5, la tabla de costos unitarios, si todos los resultados son menores o iguales a cero se ha llegado a la solución optima, pero si hay valores que son mayores a cero (es decir positivos) no se ha llegado a la solución optima y se procede a encontrar una nueva distribución (paso 7) y luego se repiten los pasos 3, 4, 5 y 6 y así sucesivamente, hasta encontrar la solución optima.


7) NUEVA DISTRIBUCION (segunda o tercera o cuarta etc. Según la resolución del problema).

§ Se halla el pivote. Este corresponde al valor positivo mayor de la tabla o matriz de costos marginales, este pivote esta ubicado en una posición que debe estar libre en la distribución anterior

§ En la posición que ocupa el pivote en la distribución anterior se introduce Q1, que permite el juego entre la oferta y la demanda para minimizar el costo

§ Después de introducir Q1 en la posición correspondiente, se debe buscar el equilibrio entre la oferta de los orígenes y la demanda de los destinos, sumando o restando Q1 en otras posiciones de la matriz de la distribución anterior

§ El contenido de las posiciones en que Q1 quede restando se iguala a cero y se despejan los Q1, se toma el valor del Q1 menor y se suma o se resta según el caso, obteniéndose de esta manera la nueva distribución, con equilibrio entre oferta y demanda, luego se repiten los pasos 3, 4, 5 y 6 y de ser necesario se halla una nueva distribución (paso 7) y se repiten nuevamente los pasos 3, 4, 5 y 6 y así sucesivamente hasta encontrar la solución optima, que nos indica el paso 6 y en este caso, la solución optima será el ultimo costo Z calculado en el paso 3

METODO DE LA ESQUINA NOROESTE, OPTIMIZACION DE COSTOS DE TRANSPORTE

Para optimizar los costos de transporte se debe conocer la oferta de un producto que proviene de unos orígenes y la demanda del mismo producto, que conlleva a unos destinos. También se debe conocer el costo de transporte por unidad de producto entre los diferentes orígenes y los diferentes destinos.

El método del costo de transporte de la esquina noroeste permite hallar la solución inicial, pero no directamente la solución la optima. Con este método se halla la distribución inicial de transporte de los orígenes a los destinos, cuyos resultados se consignan en una tabla o matriz, la cual se multiplica por la tabla o matriz de costos unitarios, obteniéndose la tabla o matriz de costo total de transporte, esta nos muestra todos los posibles costos entre los diferentes orígenes y los diferentes destinos del transporte. Por la sumatoria de los resultados de las filas o de las columnas en la matriz de costo total se obtiene el costo de transporte total.

Para encontrar la solución optima, se parte de la distribución encontrada por el método de la esquina noroeste, de la cual se calcula su costo, luego la distribución se expresa en forma dual (paso 4), se construye la tabla Cij (paso 5), se calcula la tabla de costos marginales (paso 6), esta nos indica si el costo no es optimo o no, si no lo es se halla una nueva distribución (paso7) y se vuelve a repetir el proceso completo desde el paso 3, cuantas veces sea necesario hasta encontrar las solución optima, la cual representa el costo mínimo de transporte entre los orígenes y los destinos. A continuación se describen todos los pasos para encontrar la solución optima de transporte, partiendo de la solución inicial por el método de la esquina noroeste

PROCEDIMIENTO PARA LA SOLUCION DEL PROBLEMA:

1) BALANCEAR EL PROBLEMA: Si la cantidad ofrecida de un producto, difiere de la cantidad demandada de un producto se debe balancear el problema. Si hay deficiencia de oferta se debe incluir un nuevo origen para igualar la demanda pero con costo de transporte cero. Si hay deficiencia de demanda se debe incluir un nuevo destino para igualar la oferta pero con costo de transporte cero.

Consultar ejercicio ilustrativo en el siguiente enlace

http://spreadsheets.google.com/pub?key=pAAIO2lY9BwKCbITMmneoSg


2) FORMULAR LA PRIMERA DISTRIBUCION DE OFERTA Y DEMANDA EN UNA MATRIZ, EMPEZANDO POR LA ESQUINA NOROESTE.

§ Se toma el menor valor entre la oferta y la demanda del destino uno y el origen uno y se coloca en la esquina noroeste, es decir en la posición (1; 1) de la matriz. Téngase en cuenta que la matriz a nivel general según el caso debe contener un origen o un destino ficticio, siempre y cuando no exista equilibrio entre la oferta y la demanda real del problema o caso planteado.

§ Se asigna a la fila uno o a la columna uno según el caso, los máximos valores posibles, pero respetando en el resultado de la sumatoria de fila o columna, la producción ofrecida o suministro en los orígenes y los requerimientos demandados o consumos en los destinos, estipulados en el caso o problema

§ Se hacen las asignaciones en todas las demás filas y columnas según el caso, avanzando desde la esquina noroeste a la esquina sureste, pero siempre respetando en las sumatoria de filas o de columnas las cantidades ofrecidas y demandadas en los diferentes orígenes y destinos.

Si la matriz es de m filas y n columnas, la distribución de en la matriz debe tener m+n-1 casillas o celdas ocupadas, si no es así se trata de una solución degenerada.

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3) CALCULAR EL COSTO DE TRANSPORTE Z. Para calcular el costo de transporte Z, se requiere la matriz o tabla de la distribución hallada por el método de la esquina noroeste y la matriz o tabla de costo unitario, esta ultima muestra lo que vale transportar una unidad de producto entre cada origen específico y cada destino específico. Si en el problema o caso original no había equilibrio entre la oferta y la demanda, entonces en la matriz de costo aparece una columna o una fila, ficticia con costo cero.

Para calcular el costo total Z de la distribución en cuestión, se multiplica la matriz de la distribución hallada, por la matriz de costo unitario, obteniéndose la matriz de costo total Z.

Específicamente el costo total Z se halla por la sumatoria de los totales de las filas o también por la sumatoria de los totales de las columnas de la matriz de costo total Z

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El costo hallado con la distribución encontrada por el método de la esquina noroeste generalmente no corresponde al costo óptimo, por lo tanto se debe hacer la verificación (numerales 4, 5 y 6) y si no es el óptimo se deben buscar nuevas distribuciones, hasta conseguir el costo óptimo (mínimo)

4) EXPRESAR LA DISTRIBUCION EN FORMA DUAL. Se asigna costo unitario a cada celda Cij ocupada en la tabla o matriz de la distribución hallada y se iguala a la sumatoria del componente se su respectiva fila (F) con el componente de la respectiva columna ( C ). De esta igualdad establecida se despeja el F o el C correspondiente según el caso. Por ejemplo si una celda ocupada en la matriz de la distribución es C31 a esta se le asigna el costo unitario (CU) y sus componentes serán la fila 3 (F3) y la columna 1 (C1) entonces CU = C31 = F3 + C1, de esta igualdad si se conoce F3 se despeja C1 y si lo que se conoce es C1 entonces se despeja F3.

Para iniciar el procedimiento del paso 4 se inicia con la primera fila entonces C11 = F1 + C1. El costo por unidad de producto entre el origen 1 y el destino 1 es C11. Se asume que C11=F1 y se despeja C1. Entonces C1 = C11-F1 = 0. Luego se plantean todas las demás ecuaciones entre los diferentes orígenes y destinos y se despeja F o C según el caso

Tenga en cuenta lo siguiente:

§ F1 = fila 1
F2 = fila 2
.
.
.
Fm = fila m


§ C1 = columna 1
C2 = columna 2
.
.
.
Cn = columna n


§ C11=F1+C1
C12=F1+C2
C13=F1+C3
.
.
.
C1n=F1+Cn


§ C21=F2+C1
C22=F2+C2
C23=F2+C3
.
.
.
C2n=F2+Cn

§ C31=F3+C1…………..Cm1=Fm+C1
C32=F3+C2…………..Cm2=Fm+C2
C33=F3+C3…………..Cm3=Fm+C3
. .
. .
. .
C3n=F3+Cn………… Cmn=Fm+Cn

Si los orígenes están en las filas y los destinos en las columnas entonces

§ C11= Costo entre el origen 1 y el destino 1
C12= Costo entre el origen 1 y el destino 2
.
.
.
C1n=Costo entre el origen 1 y el destino n

§ C21=Costo entre el origen 2 y el destino 1
C22=Costo entre el origen 2 y el destino 2
.
.
.
C2n=Costo entre el origen 2 y el destino n y así sucesivamente hasta la última fila (m):

§ Cm1=Costo entre el origen m y el destino 1
Cm2=Costo entre el origen m y el destino 2
.
.
.
Cmn=Costo entre el origen m y el destino n

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5) CONSTRUCCION DE LA TABLA Cij. Tomamos los valores de F y C calculados con las ecuaciones del paso 4) y a cada F le sumamos su respectivo C para obtener cada resultado Cij. Conformándose de esta manera la tabla o matriz Cij

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6) CONSTRUCCION DE LA TABLA DE COSTOS MARGINALES. Se obtiene restando de la matriz o tabla Cij hallada en el paso 5, la tabla de costos unitarios, si todos los resultados son menores o iguales a cero se ha llegado a la solución optima, pero si hay valores que son mayores a cero (es decir positivos) no se ha llegado a la solución optima y se procede a encontrar una nueva distribución (paso 7) y luego se repiten los pasos 3, 4, 5 y 6 y así sucesivamente, hasta encontrar la solución optima.

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7) NUEVA DISTRIBUCION (segunda o tercera o cuarta etc. Según la resolución del problema).

§ Se halla el pivote. Este corresponde al valor positivo mayor de la tabla o matriz de costos marginales, este pivote esta ubicado en una posición que debe estar libre en la distribución anterior

§ En la posición que ocupa el pivote en la distribución anterior se introduce Q1, que permite el juego entre la oferta y la demanda para minimizar el costo

§ Después de introducir Q1 en la posición correspondiente, se debe buscar el equilibrio entre la oferta de los orígenes y la demanda de los destinos, sumando o restando Q1 en otras posiciones de la matriz de la distribución anterior

§ El contenido de las posiciones en que Q1 quede restando se iguala a cero y se despejan los Q1, se toma el valor del Q1 menor y se suma o se resta según el caso, obteniéndose de esta manera la nueva distribución, con equilibrio entre oferta y demanda, luego se repiten los pasos 3, 4, 5 y 6 y de ser necesario se halla una nueva distribución (paso 7) y se repiten nuevamente los pasos 3, 4, 5 y 6 y así sucesivamente hasta encontrar la solución optima, que nos indica el paso 6 y en este caso, la solución optima será el ultimo costo Z calculado en el paso 3

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SISTEMAS DE PRODUCCION

En este artículo se define sistemas de producción y los tipos de sistemas productivos con sus principales características. Estos tipos de sistemas son:

· Sistema de Producción Continua, Repetitiva o en Serie.
· Sistema de Producción Intermitente por Órdenes o Lotes.
· Sistema de Producción por Unidad
· Sistema de Producción Modular
· Sistema de Producción por Proyectos

También se hace referencia a los sistemas de producción abiertos y cerrados.

1. SISTEMAS DE PRODUCCION.

Conjunto de elementos organizados y relacionados entres sí con el fin de obtener un bien o la prestación de un servicio.

Los elementos hacen referencia en general a Recursos Materiales, Personas e información, requeridos para la elaboración de un bien o la prestación de un servicio.

1.1. Entradas o Insumos: Es el punto de partida del sistema, estos elementos provienen del medio ambiente externo y los podemos agrupar en Recursos Naturales o Materias Primas, Materiales básicos o Materias primas de consumo Intermedio, Bienes de Capital, Personas, Procesos[1], procedimientos[2], e información en general. Los insumos son sometidos a procesos de transformación, tratamiento o usos especiales para producir un bien o prestar un servicio.

1.2. Proceso Productivo: Lo constituyen los pasos para la transformación de las Materias Primas o prestación del servicio, en los cuales actúan los recursos materiales, las personas y la información. El proceso productivo puede estar haciendo referencia al proceso de fabricación y en este caso seria un proceso de transformación de materias primas naturales o materiales básicos, mediante la intervención de las personas, las maquinas y demás insumos requeridos para la elaboración del bien. Pero el proceso productivo también puede estar haciendo referencia al uso o tratamiento de algunos insumos por parte de las personas para prestar un servicio a los clientes.

1.3. Salidas o Resultados: Son los productos del Sistema Productivo que van al medio ambiente externo, estos productos pueden ser bienes o servicios obtenidos a través de un proceso, estos productos llegan a personas, grupos de personas, comunidades u otras organizaciones.

Un bien es un articulo que brinda una utilidad o satisface una necesidad, en este caso la producción consistiría en la elaboración de un objeto físico con la intervención de las personas, utilizando maquinas, materias primas y demás insumos requeridos para la producción.

Un servicio es el resultado de la actividad del ser humano, en este caso la producción es la ejecución de una función que tiene alguna utilidad para los clientes.

1.4. Retroalimentación: Permite comparar la salida con el producto patrón (bien o servicio) establecido, es decir controlar los desvíos de las salidas en relación con lo planeado. La retroalimentación tiende a mantener en forma correcta el proceso haciendo que los resultados se acomoden al patrón establecido, lo que permite al sistema un equilibrio dinámico cuando esta recibiendo información del medio ambiente

2. TIPOS DE SISTEMAS PRODUCTIVOS.
2.1 Sistema de Producción Continua, Repetitiva o en Serie. Satisface las necesidades del producto. Las maquinas se sitúan unas junto a otras a lo largo de una línea en la secuencia en la que cada una de ellas a de ser utilizada. El producto recorre la línea de producción de una estación a otra a mediada que requiere las operaciones necesarias. En otras palabras agrupa a los trabajadores y al equipo de acuerdo con la secuencia de operaciones realizadas sobre el producto. En este sistema las operaciones se combinan con el transporte de tal manera que los materiales son procesados mientras se mueven.

Las líneas de ensamble son características de esta distribución con el uso de transportadores y equipos muy automatizados para producir grandes volúmenes de relativamente pocos productos, el trabajo es continuo y se guía por instrucciones estandarizadas.

Se utiliza este sistema cuando la demanda de un producto es suficientemente grande, como para utilizar todo el tiempo en la fabricación continua de ese producto

Características de la producción continua, repetitiva o en serie.

Ø Gran inversión
Ø Inflexibles
Ø Secuencia fijada por el producto
Ø Se recurre a las líneas de producción y ensamble por producto
Ø El máximo volumen de la producción esta fijado por la capacidad de la línea
Ø La Cantidad a fabricar por cada producto es muy elevada con relación a la diversidad de Productos
Ø Los procedimientos de fabricación son mecanizados e incluso automatizados
Ø Los ajustes de las maquinas son escasos debido a la poca diversidad de productos
Ø El volumen de producción por empleado es muy elevado.
Ø La mano de obra en ciertas líneas de ensamble es poco especializada
Ø Inventario alto de Materias Primas, determinado por el ciclo de producción
Ø Inventario bajo de Productos en proceso, determinado por el ciclo de producción.
Ø Inventario Alto de producto Final.
Ø Control de la calidad del Materias Primas y Producto Terminado ( el del producto terminado especialmente al inicio)
Ø Existe un servicio permanente de mantenimiento
Ø El costo de manejo de materiales es bajo
Ø El personal efectúa tareas rutinarias y repetitivas, el trabajo se vuelve aburrido
Ø El control de la producción es simplificado, con operaciones interdependientes y por esta razón la mayoría de este tipo de distribución es inflexible.
Ø Planeación y control de la producción sencillos se fijan especialmente por la maquinaria.
Ø Grado de Supervisión Medio

La producción en serie es una característica de la gran industria, con altas inversiones para generar altos volúmenes de producción, para un mercado un tanto asegurado y una buena capacidad financiera.

2.2. Sistema de Producción Intermitente por Órdenes o Lotes. Agrupa en una misma área a las personas y al equipo que realizan funciones similares, de esta manera se divide la planta en secciones a través de los cuales circulan los productos en proceso.
La producción intermitente se caracteriza por el sistema productivo de lotes de fabricación. En este caso se trabaja con un lote de determinado producto que se limita a un nivel de producción, seguido por otro lote de un producto diferente.

La producción intermitente será inevitable cuando la demanda de un producto no es suficientemente grande como para utilizar el tiempo total de fabricación continua, de tal suerte que la economía de manufactura favorecerá a la producción intermitente.

En otras palabras el equipo sirve para fabricar varios productos. En estos casos la empresa generalmente fabrica una gran variedad de productos. Para la mayoría de ellos, los volúmenes de venta y los lotes de fabricación son pequeños en relación con la producción total.

La planificación en estos sistemas de producción establece para cada pedido la secuencia de fabricación, el tiempo de ejecución, cantidad a producir, demoras de entrega, asignación de trabajo a hombres y a maquinas y el seguimiento a cada pedido en el transcurso del proceso de fabricación.


Características de la producción Intermitente por órdenes o Lotes.
Ø La Inversión no es tan alta como en los sistemas de producción continua.
Ø Producción Flexible
Ø Secuencia fijada por el producto pero se pueden modificar los pasos.
Ø Bajo volumen de producción por producto.
Ø Desigualdad en la distribución de los trabajos, entre los diferentes talleres, maquinas o empleados.
Ø Baja tasa de utilización de ciertas máquinas.
Ø Gran diversidad de productos a fabricar
Ø Inventario medio tanto de Materias primas, como de productos en proceso y de productos terminados.
Ø Nivel de especialización del recurso humano medio - alto
Ø Grado de Supervisión Medio por áreas de trabajo
Ø Control del producto al inicio, durante y al final del proceso
Ø Control de la calidad de las materias primas, productos en proceso y producto terminado
Ø Planeación y control de la producción requieren de mayor análisis.
Ø Se ven menos Afectados por huelgas o paros
Ø El costo de supervisión por empleado es alto
Ø El equipo no se utiliza a su máxima capacidad
Ø El control de la producción es más complejo.
Ø Los costos de producción son más altos que los de un sistema de producción continua.

La producción intermitente por órdenes o lotes es característica de la medina y pequeña empresa, sus inversiones no son tan altas como en la gran industria y sus volúmenes de producción no más bajos que en la gran industria, más si se tiene en cuenta que es por lotes que pueden ser de diferentes productos

2.3. Sistema de Producción por Unidad. Cuando se habla de unidades se hace referencia a productos complejos que pueden producirse solamente a razón de uno a la vez y requieren operaciones y recursos variados.

Este sistema de producción se encuentra en la industria naval, aeronáutica y de la construcción.

Aquí la mano de obra los materiales y el equipo acuden al sitio de trabajo como en la construcción de un edificio un barco o un avión. Tiene la ventaja de que el control y la planeación del proyecto puede realizarse utilizando técnicas como el CPM (ruta critica) y el PERT.

La producción por unidad seria un caso un tanto extraño a nivel de pequeña y mediana empresa, generalmente se da a nivel de grandes empresas.

2.4. Sistema de Producción Modular. Consiste en diseñar, desarrollar y producir partes que ensamblándolas de diferentes formas pueden dar como resultado diversos productos. Ejemplo muebles modulares.

2.5 Sistema de Producción por Proyectos. En la literatura de la administración de la producción cuando se habla de proyectos se hace referencia a obras como la construcción de una hidroeléctrica, una urbanización, una carretera etc. Sin embargo para nosotros un proyecto es la gestión de una empresa de tamaño y actividades variables que no se limitan a la construcción de una obra o producto como por ejemplo 100 casas, sino que conllevan una actividad continua y permanente de gestión y administración de una empresa.

Teniendo en cuenta la influencia del medio ambiente los sistemas productivos también se pueden clasificar como:

Ø Sistemas de Producción Abiertos. Son aquellos que están en permanente cambio influenciados por fuerzas internas y externas al sistema

Se dice que el sistema es abierto porque establece dinámica con su medio ambiente externo. Esto es que el sistema de producción esta cambiando permanentemente influenciadas por fuerzas externas provenientes de los suprasistemas, pero que También sus fuerzas internas provenientes de las características propias de la del sistema de producción y de sus subsistemas pueden influenciar al medio ambiente externo.

Los suprasistemas son: el económico, Social, político, Cultural, Natural y los subsistemas son la planeación, la organización, la dirección y el control.


Ø Sistemas de Producción Cerrados. Son aquellos que reciben una influencia menor del medio ambiente externo. Actualmente se podría afirmar que la mayoría de los sistemas son abiertos pues difícilmente se concibe un sistema cerrado

En resumen se puede decir que los sistemas de producción se pueden clasificar así:

En relación con el medio Ambiente: Abiertos y Cerrados.

En relación con el tipo de producción: Continua, por lotes y por unidad

En relación con el Tipo de Producto: Modulares y por proyectos.

[1]
Conjunto de las fases sucesivas de un fenómeno natural o de una operación artificial.


[2]
Método de ejecutar algunas cosas