METODO GRAFICO DE LA PROGRAMACION LINEAL

1. GENERALIDADES.

La programación lineal es un modelo matemático que permite asimilar una cantidad de recursos a la satisfacción de varias demandas, en tal forma que se optimice un objetivo y a la vez se satisfaga otras condiciones dadas (restricciones). Todo problema de programación lineal consta de las siguientes partes:

1. Función Objetivo: se puede plantear en términos de ganancias o de costos y se utilizan variables previamente definidas. La función objetivo debe de ser optimizada.

Un proceso de optimización puede consistir en la maximización o en la minimización. Maximización en el caso de las ganancias y Minimización en el caso de los costos

2. Restricciones: Son relaciones que se establecen entre las variables estructurales que conforman la función objetivo y generalmente están definidas en términos de desigualdades (<>), también pueden incluir igualdades.


Para resolver los problemas de programación lineal generalmente se utilizan los siguientes métodos:

1. Método Grafico. Se utiliza cuando el número de variables estructuras del problema son máximo 3

2. Método Analítico. Recibe el nombre de método Simplex y se pueden resolver problemas con muchas variables

2. PASOS DEL PROCEDIMIENTO DEL METODO GRAFICO.

Los pasos para resolver un problema por el método grafico son:

§ Plantear el problema en forma matemática
§ Graficar y Analizar las ecuaciones de las restricciones
§ Calcular las soluciones de los puntos extremos de la región factible
§ Calcular las funciones objetivos con las soluciones encontradas de los puntos extremos de la región factible
§ Determinar la solución optima y graficar la función objetivo optima

Para ilustrar el procedimiento, consulte ejercicio desarrollado a continuación.






EJERCICIO DE MAXIMIZACION DE UTILIDADES

Una empresa fabrica dos productos A y B. las utilidades que se obtendrán en estos dos productos serán de $5 y $8 por unidad respectivamente. Se desea saber el número de unidades que se deben fabricar de cada producto a fin de maximizar la utilidad, teniendo en cuenta las siguientes condiciones

La capacidad máxima de producción de la planta para el periodo es de de 37.500 unidades
El costo de producción del periodo no debe exceder de $ 600.000, con un costo unitario de $ 10 para el producto A y de $ 20 para el producto B
En el mercado se demandan dos lotes del producto A por cada lote del producto B y la demanda total para los dos productos (A y B) es de 70.000 unidades.

DESARROLLO

PASO 1. PLANTEAR EL PROBLEMA EN FORMA MATEMATICA

a) Definición de Variables.

X1= Numero de unidades a fabricar del producto A = Lote del producto A
X2=Numero de unidades a fabricar del producto B= Lote del producto B

b) Planteamiento de la Función Objetivo.

§ Utilidades del producto A por unidad $ 5
§ Utilidades del producto B por unidad $8

Entonces la función objetivo se debe plantear en términos de utilidades y lo que se busca es maximizarla

Z= 5X1 + 8X2
Z= Utilidad por la venta de los productos A y B
5X1 = Utilidad por la venta de las unidades del producto A
8X2= Utilidad por la venta de las unidades del producto B

c) Planteamiento de las restricciones en términos matemáticos

§ La máxima capacidad de producción para la planta en el periodo es de 37.500 unidades entonces:

X1 + X2 <> 0

PASO 2. GRAFICAR Y ANALIZAR LAS RESTRICCIONES

Consultar grafica en el siguiente enlace:

http://docs.google.com/Doc?id=dgq47jgb_35cf2dnzc9

§ Ecuación de la Restricción 1 (en la grafica del enlace EC R1)

X1 + X2 < 37.500

Cuando X1 = 0 entonces X2= 37.500
Cuando X2 = 0 entonces X1 = 37.500

Entonces los puntos de corte con los ejes son

X1= 37.500
X2= 37.500


§ Ecuación de la Restricción 2 (en la grafica del enlace EC R2)

10X1 + 20X2 < 600.000

Cuando X1 = 0 entonces X2= 30.000
Cuando X2 = 0 entonces X1 = 60.000

Entonces los puntos de corte con los ejes son

X1= 60.000
X2= 30.000


§ Ecuación de la Restricción 3 (en la grafica del enlace EC R3)

2X1 + X2 < 70.000

Cuando X1 = 0 entonces X2= 70.000
Cuando X2 = 0 entonces X1 = 35.000

Entonces los puntos de corte con los ejes son

X1= 35.000
X2= 70.000

§ Análisis de las Restricciones.

Los puntos que se encuentran por debajo de las rectas (ver flechas en la grafica) de las restricciones, son soluciones que cumplen con la condición menor igual, sin embargo no todos los puntos forman parte de la solución específica del problema planteado.

El área encerrada por el polígono (oabcd) corresponde a la región factible y contiene los puntos de solución para el problema planteado, incluyendo el punto que permite la optimización, en este caso la maximización de utilidades

Todas las soluciones del problema planteado están en la región factible.

Cada punto extremo (o,a,b,c,d) que conforman el polígono es una solución factible, y con el sistema de ecuaciones de las restricciones podemos hallar sus coordenadas, es decir los valores de X1 y X2.


PASO 3. CALCULAR LAS SOLUCIONES DE LOS PUNTOS EXTREMOS DE LA REGION FACTIBLE.

La soluciones de los puntos o, a y d, ya se conocen. El punto o es el origen del sistema (X1=0 y X2=0). El punto b es la intersección del eje Y (X2) del sistema coordenado con la recta de la ecuación de la restricción 2 (X1=0 y X2=30.000). El punto d es la intersección del eje X (X1) con la recta de la ecuación de la restricción 3 (X1=35.000 y X2=0)

Las coordenadas o soluciones de los puntos b y c los calculamos así:

§ Punto b. De las ecuaciones de la restricción 1 y 2 calculamos las coordenadas del punto b

10X1 + 20X2 = 600.000 (Ecuación restricción 2)
-10X1- 10X2 = -375.000 (Ecuación restricción 1 multiplicada por menos diez)
0 + 10X2 = 225.000 entonces se despeja X2
X2 = 22.500 reemplazando X2 en cualquiera de las ecuaciones de restricción 1 o 2
X1 =37.500 – X2 = 37.500 – 22.500 = 15.000
Entonces solución punto b
X1= 15.000
X2= 22.500
§ Punto c. De las ecuaciones de la restricción 3 y 1 calculamos las coordenadas del punto c

2X1 + 1X2 = 70.000 (Ecuación restricción3)
-2X1 - 2X2 = -75.000 (Ecuación restricción 1 multiplicada por menos dos)
0 - 1X2 = -5000 entonces
X2= 5.000
Reemplazando X2 en la ecuación de la restricción 1
37.500-X2=X1= 37.500-5.000 = 32.500.

Entonces solución punto c
X1= 5.000
X2= 32.500

PASO 4. CALCULAR LAS FUNCIONES OBJETIVOS CON LAS SOLUCIONES ENCONTRADAS DE LOS PUNTOS EXTREMOS DE LA REGION FACTIBLE


Función objetivo: Z = 5X1 + 8X2

§ Punto a: (X1=0; X2=30.000) entonces Z=240.000
§ Punto b: (X1=15.000; X2=22.500) entonces Z=255.000
§ Punto c: (X1=32.500; X2=5000) entonces Z=202.500
§ Punto d: (X1=35.000; X2=0) entonces Z= 175.000

PASO 5. DETERMINAR LA SOLUCION ÓPTIMA Y GRAFICAR LA FUNCION OBJETIVO OPTIMA.

En el paso anterior se encontró que el mayor Z es
Z= 255.000.
Entonces la solución óptima corresponde al punto b cuyas coordenadas son
X1 = 15.000 y
X2 = 22.500
Entonces para que la empresa obtenga la utilidad máxima, debe fabricar 15.000 unidades de articulo A y 22.500 unidades de articulo B
La función objetiva óptima será:
Z= 5X1 + 8X2 = 255.000 = 5*15.000 + 8*22.500 = 255.000
Los puntos de corte para graficar la función objetivo se obtienen así:
§ Si X1= 0 entonces X2 = 31.875 (punto de corte con el eje X2)
§ Si X2=0 entonces X1 = 51.000 ( punto de corte con el eje X1)

EJERCICIO DE MINIMIZACION DE COSTOS
Este ejercicio se deja propuesto para que usted lo trabaje, el enunciado es:

Una madre desea que sus niños obtenga cierta cantidad de elementos nutritivos de los cereales del desayuno, los niños pueden escoger entre tronados o dorados o una mezcla de los dos. De su desayuno deben obtener cuanto menos 1 miligramo de tiamina, 5 miligramos de miacina, y 400 calorías. Una onza de tronados contiene 0.1 miligramo de tiamina, 1 miligramo de miacina y 110 calorías. Una onza de dorados contiene 0.25 miligramos de tiamina, 0,25 miligramos de miaciana y 120 calorías. Una Onza de tronados vale $38 y una de doras $42. Encontrar la mejor alternativa para minimizar costos.