Para optimizar los costos de transporte se debe conocer la oferta de un producto que proviene de unos orígenes y la demanda del mismo producto, que conlleva a unos destinos. También se debe conocer el costo de transporte por unidad de producto entre los diferentes orígenes y los diferentes destinos.
El método del costo de transporte de Vogel permite hallar la solución inicial, pero no directamente la solución optima. Con este método se halla la distribución inicial de transporte de los orígenes a los destinos, cuyos resultados se consignan en una tabla o matriz, la cual se multiplica por la tabla o matriz de costos unitarios, obteniéndose la tabla o matriz de costo total de transporte, esta nos muestra todos los posibles costos entre los diferentes orígenes y los diferentes destinos del transporte. Por la sumatoria de los resultados de las filas o de las columnas en la matriz de costo total se obtiene el costo de transporte total.
Para encontrar la solución optima, se parte de la distribución encontrada por el método de Vogel, de la cual se calcula su costo, luego la distribución se expresa en forma dual (paso 4), se construye la tabla Cij (paso 5), se calcula la tabla de costos marginales (paso 6), esta nos indica si el costo es optimo o no, si no lo es, se halla una nueva distribución (paso7) y se vuelve a repetir el proceso completo desde el paso 3, cuantas veces sea necesario hasta encontrar las solución optima, la cual representa el costo mínimo de transporte entre los orígenes y los destinos. A continuación se describen todos los pasos para encontrar la solución optima de transporte, partiendo de la solución inicial por el método de Vogel.
La solución inicial que se encuentra por el método de Vogel, esta más cercana de la solución optima, que la solución inicial que se encuentra por el método de la esquina noroeste
PROCEDIMIENTO PARA LA SOLUCION DEL PROBLEMA:
1) BALANCEAR EL PROBLEMA: Si la cantidad ofrecida de un producto, difiere de la cantidad demandada de un producto se debe balancear el problema. Si hay deficiencia de oferta se debe incluir un nuevo origen para igualar la demanda pero con costo de transporte cero. Si hay deficiencia de demanda se debe incluir un nuevo destino para igualar la oferta pero con costo de transporte cero.
Consultar ejercicio ilustrativo en el siguiente enlace
http://spreadsheets.google.com/pub?key=pAAIO2lY9BwISpP2if7nhcA
2) HALLAR LA PRIMERA DISTRIBUCION POR EL METODO DE VOGEL
Se determina la diferencia entre los coeficientes de costo unitario de menor valor por fila y por columna y se halla la mayor diferencia, para asignar valores a la primera distribución. El procedimiento detallado es el siguiente:
2.1 Determinar la diferencia entre los dos coeficientes más pequeños, tanto para cada una de las filas, como para cada una de las columnas. Este procedimiento se aplica sobre la matriz de costos unitarios, después de haber introducido orígenes o destinos ficticios según el caso y si se requieren.
2.2 Hallar la fila o la columna con el resultado mayor obtenido según el paso anterior (2.1). Si es una sola no hay inconveniente. Si hay empate En la filas o columnas seleccionadas, por este criterio, se escoge la que permita en cualquiera de sus celdas una asignación de costo unitario menor, si el empate persiste se selecciona al azar y en esta fila o columna seleccionada, teniendo en cuenta la celda de menor costo unitario, se hace la asignación pero en la matriz escogida para la distribución. Se le asigna la máxima cantidad permisible de acuerdo con los requerimientos de la oferta de los orígenes y la demanda de los destinos. Posteriormente se tachan filas y / o columnas que ya cumplan con los requerimientos y se repiten los pasos 2.1 y 2.2 cuantas veces sea necesario hasta encontrar la primera distribución completa guardando los requerimientos de oferta y demanda.
Luego de construida la tabla o matriz de la primera distribución se verifica que cumpla con los requerimientos de oferta y de demanda y con la regla m+n-1 donde m es el número de filas de la matriz, n el numero de columnas y el numero de celdas ocupadas de la matriz debe ser igual a m+n-1, de no cumplirse se trata de una solución degenerada.
3) CALCULAR EL COSTO DE TRANSPORTE Z. Para calcular el costo de transporte Z, se requiere la matriz o tabla de la distribución hallada por el método de Vogel y la matriz o tabla de costo unitario, esta ultima muestra lo que vale transportar una unidad de producto entre cada origen específico y cada destino específico. Si en el problema o caso original no había equilibrio entre la oferta y la demanda, entonces en la matriz de costo aparece una columna o una fila, ficticia con costo cero.
Para calcular el costo total Z de la distribución en cuestión, se multiplica la matriz de la distribución hallada, por la matriz de costo unitario, obteniéndose la matriz de costo total Z.
Específicamente el costo total Z se halla por la sumatoria de los totales de las filas o también por la sumatoria de los totales de las columnas de la matriz de costo total Z
El costo hallado con la distribución encontrada por el método de Vogel generalmente no corresponde al costo óptimo, por lo tanto se debe hacer la verificación (numerales 4, 5 y 6) y si no es el óptimo se deben buscar nuevas distribuciones, hasta conseguir el costo óptimo (mínimo)
4) EXPRESAR LA DISTRIBUCION EN FORMA DUAL. Se asigna costo unitario a cada celda Cij ocupada en la tabla o matriz de la distribución hallada y se iguala a la sumatoria del componente se su respectiva fila (F) con el componente de la respectiva columna ( C ). De esta igualdad establecida se despeja el F o el C correspondiente según el caso. Por ejemplo si una celda ocupada en la matriz de la distribución es C31 a esta se le asigna el costo unitario (CU) y sus componentes serán la fila 3 (F3) y la columna 1 (C1) entonces CU = C31 = F3 + C1, de esta igualdad si se conoce F3 se despeja C1 y si lo que se conoce es C1 entonces se despeja F3.
Para iniciar el procedimiento del paso 4 se inicia con la primera fila entonces C11 = F1 + C1. El costo por unidad de producto entre el origen 1 y el destino 1 es C11. Se asume que C11=F1 y se despeja C1. Entonces C1 = C11-F1 = 0. Luego se plantean todas las demás ecuaciones entre los diferentes orígenes y destinos y se despeja F o C según el caso
Tenga en cuenta lo siguiente:
§ F1 = fila 1
F2 = fila 2
.
.
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Fm = fila m
§ C1 = columna 1
C2 = columna 2
.
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Cn = columna n
§ C11=F1+C1
C12=F1+C2
C13=F1+C3
.
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C1n=F1+Cn
§ C21=F2+C1
C22=F2+C2
C23=F2+C3
.
.
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C2n=F2+Cn
§ C31=F3+C1…………..Cm1=Fm+C1
C32=F3+C2…………..Cm2=Fm+C2
C33=F3+C3…………..Cm3=Fm+C3
. .
. .
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C3n=F3+Cn………… Cmn=Fm+Cn
Si los orígenes están en las filas y los destinos en las columnas entonces
§ C11= Costo entre el origen 1 y el destino 1
C12= Costo entre el origen 1 y el destino 2
.
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C1n=Costo entre el origen 1 y el destino n
§ C21=Costo entre el origen 2 y el destino 1
C22=Costo entre el origen 2 y el destino 2
.
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C2n=Costo entre el origen 2 y el destino n y así sucesivamente hasta la última fila (m):
§ Cm1=Costo entre el origen m y el destino 1
Cm2=Costo entre el origen m y el destino 2
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Cmn=Costo entre el origen m y el destino n
5) CONSTRUCCION DE LA TABLA Cij. Tomamos los valores de F y C calculados con las ecuaciones del paso 4) y a cada F le sumamos su respectivo C para obtener cada resultado Cij. Conformándose de esta manera la tabla o matriz Cij
6) CONSTRUCCION DE LA TABLA DE COSTOS MARGINALES. Se obtiene restando de la matriz o tabla Cij hallada en el paso 5, la tabla de costos unitarios, si todos los resultados son menores o iguales a cero se ha llegado a la solución optima, pero si hay valores que son mayores a cero (es decir positivos) no se ha llegado a la solución optima y se procede a encontrar una nueva distribución (paso 7) y luego se repiten los pasos 3, 4, 5 y 6 y así sucesivamente, hasta encontrar la solución optima.
7) NUEVA DISTRIBUCION (segunda o tercera o cuarta etc. Según la resolución del problema).
§ Se halla el pivote. Este corresponde al valor positivo mayor de la tabla o matriz de costos marginales, este pivote esta ubicado en una posición que debe estar libre en la distribución anterior
§ En la posición que ocupa el pivote en la distribución anterior se introduce Q1, que permite el juego entre la oferta y la demanda para minimizar el costo
§ Después de introducir Q1 en la posición correspondiente, se debe buscar el equilibrio entre la oferta de los orígenes y la demanda de los destinos, sumando o restando Q1 en otras posiciones de la matriz de la distribución anterior
§ El contenido de las posiciones en que Q1 quede restando se iguala a cero y se despejan los Q1, se toma el valor del Q1 menor y se suma o se resta según el caso, obteniéndose de esta manera la nueva distribución, con equilibrio entre oferta y demanda, luego se repiten los pasos 3, 4, 5 y 6 y de ser necesario se halla una nueva distribución (paso 7) y se repiten nuevamente los pasos 3, 4, 5 y 6 y así sucesivamente hasta encontrar la solución optima, que nos indica el paso 6 y en este caso, la solución optima será el ultimo costo Z calculado en el paso 3
El método del costo de transporte de Vogel permite hallar la solución inicial, pero no directamente la solución optima. Con este método se halla la distribución inicial de transporte de los orígenes a los destinos, cuyos resultados se consignan en una tabla o matriz, la cual se multiplica por la tabla o matriz de costos unitarios, obteniéndose la tabla o matriz de costo total de transporte, esta nos muestra todos los posibles costos entre los diferentes orígenes y los diferentes destinos del transporte. Por la sumatoria de los resultados de las filas o de las columnas en la matriz de costo total se obtiene el costo de transporte total.
Para encontrar la solución optima, se parte de la distribución encontrada por el método de Vogel, de la cual se calcula su costo, luego la distribución se expresa en forma dual (paso 4), se construye la tabla Cij (paso 5), se calcula la tabla de costos marginales (paso 6), esta nos indica si el costo es optimo o no, si no lo es, se halla una nueva distribución (paso7) y se vuelve a repetir el proceso completo desde el paso 3, cuantas veces sea necesario hasta encontrar las solución optima, la cual representa el costo mínimo de transporte entre los orígenes y los destinos. A continuación se describen todos los pasos para encontrar la solución optima de transporte, partiendo de la solución inicial por el método de Vogel.
La solución inicial que se encuentra por el método de Vogel, esta más cercana de la solución optima, que la solución inicial que se encuentra por el método de la esquina noroeste
PROCEDIMIENTO PARA LA SOLUCION DEL PROBLEMA:
1) BALANCEAR EL PROBLEMA: Si la cantidad ofrecida de un producto, difiere de la cantidad demandada de un producto se debe balancear el problema. Si hay deficiencia de oferta se debe incluir un nuevo origen para igualar la demanda pero con costo de transporte cero. Si hay deficiencia de demanda se debe incluir un nuevo destino para igualar la oferta pero con costo de transporte cero.
Consultar ejercicio ilustrativo en el siguiente enlace
http://spreadsheets.google.com/pub?key=pAAIO2lY9BwISpP2if7nhcA
2) HALLAR LA PRIMERA DISTRIBUCION POR EL METODO DE VOGEL
Se determina la diferencia entre los coeficientes de costo unitario de menor valor por fila y por columna y se halla la mayor diferencia, para asignar valores a la primera distribución. El procedimiento detallado es el siguiente:
2.1 Determinar la diferencia entre los dos coeficientes más pequeños, tanto para cada una de las filas, como para cada una de las columnas. Este procedimiento se aplica sobre la matriz de costos unitarios, después de haber introducido orígenes o destinos ficticios según el caso y si se requieren.
2.2 Hallar la fila o la columna con el resultado mayor obtenido según el paso anterior (2.1). Si es una sola no hay inconveniente. Si hay empate En la filas o columnas seleccionadas, por este criterio, se escoge la que permita en cualquiera de sus celdas una asignación de costo unitario menor, si el empate persiste se selecciona al azar y en esta fila o columna seleccionada, teniendo en cuenta la celda de menor costo unitario, se hace la asignación pero en la matriz escogida para la distribución. Se le asigna la máxima cantidad permisible de acuerdo con los requerimientos de la oferta de los orígenes y la demanda de los destinos. Posteriormente se tachan filas y / o columnas que ya cumplan con los requerimientos y se repiten los pasos 2.1 y 2.2 cuantas veces sea necesario hasta encontrar la primera distribución completa guardando los requerimientos de oferta y demanda.
Luego de construida la tabla o matriz de la primera distribución se verifica que cumpla con los requerimientos de oferta y de demanda y con la regla m+n-1 donde m es el número de filas de la matriz, n el numero de columnas y el numero de celdas ocupadas de la matriz debe ser igual a m+n-1, de no cumplirse se trata de una solución degenerada.
3) CALCULAR EL COSTO DE TRANSPORTE Z. Para calcular el costo de transporte Z, se requiere la matriz o tabla de la distribución hallada por el método de Vogel y la matriz o tabla de costo unitario, esta ultima muestra lo que vale transportar una unidad de producto entre cada origen específico y cada destino específico. Si en el problema o caso original no había equilibrio entre la oferta y la demanda, entonces en la matriz de costo aparece una columna o una fila, ficticia con costo cero.
Para calcular el costo total Z de la distribución en cuestión, se multiplica la matriz de la distribución hallada, por la matriz de costo unitario, obteniéndose la matriz de costo total Z.
Específicamente el costo total Z se halla por la sumatoria de los totales de las filas o también por la sumatoria de los totales de las columnas de la matriz de costo total Z
El costo hallado con la distribución encontrada por el método de Vogel generalmente no corresponde al costo óptimo, por lo tanto se debe hacer la verificación (numerales 4, 5 y 6) y si no es el óptimo se deben buscar nuevas distribuciones, hasta conseguir el costo óptimo (mínimo)
4) EXPRESAR LA DISTRIBUCION EN FORMA DUAL. Se asigna costo unitario a cada celda Cij ocupada en la tabla o matriz de la distribución hallada y se iguala a la sumatoria del componente se su respectiva fila (F) con el componente de la respectiva columna ( C ). De esta igualdad establecida se despeja el F o el C correspondiente según el caso. Por ejemplo si una celda ocupada en la matriz de la distribución es C31 a esta se le asigna el costo unitario (CU) y sus componentes serán la fila 3 (F3) y la columna 1 (C1) entonces CU = C31 = F3 + C1, de esta igualdad si se conoce F3 se despeja C1 y si lo que se conoce es C1 entonces se despeja F3.
Para iniciar el procedimiento del paso 4 se inicia con la primera fila entonces C11 = F1 + C1. El costo por unidad de producto entre el origen 1 y el destino 1 es C11. Se asume que C11=F1 y se despeja C1. Entonces C1 = C11-F1 = 0. Luego se plantean todas las demás ecuaciones entre los diferentes orígenes y destinos y se despeja F o C según el caso
Tenga en cuenta lo siguiente:
§ F1 = fila 1
F2 = fila 2
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Fm = fila m
§ C1 = columna 1
C2 = columna 2
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Cn = columna n
§ C11=F1+C1
C12=F1+C2
C13=F1+C3
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C1n=F1+Cn
§ C21=F2+C1
C22=F2+C2
C23=F2+C3
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C2n=F2+Cn
§ C31=F3+C1…………..Cm1=Fm+C1
C32=F3+C2…………..Cm2=Fm+C2
C33=F3+C3…………..Cm3=Fm+C3
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C3n=F3+Cn………… Cmn=Fm+Cn
Si los orígenes están en las filas y los destinos en las columnas entonces
§ C11= Costo entre el origen 1 y el destino 1
C12= Costo entre el origen 1 y el destino 2
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C1n=Costo entre el origen 1 y el destino n
§ C21=Costo entre el origen 2 y el destino 1
C22=Costo entre el origen 2 y el destino 2
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C2n=Costo entre el origen 2 y el destino n y así sucesivamente hasta la última fila (m):
§ Cm1=Costo entre el origen m y el destino 1
Cm2=Costo entre el origen m y el destino 2
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Cmn=Costo entre el origen m y el destino n
5) CONSTRUCCION DE LA TABLA Cij. Tomamos los valores de F y C calculados con las ecuaciones del paso 4) y a cada F le sumamos su respectivo C para obtener cada resultado Cij. Conformándose de esta manera la tabla o matriz Cij
6) CONSTRUCCION DE LA TABLA DE COSTOS MARGINALES. Se obtiene restando de la matriz o tabla Cij hallada en el paso 5, la tabla de costos unitarios, si todos los resultados son menores o iguales a cero se ha llegado a la solución optima, pero si hay valores que son mayores a cero (es decir positivos) no se ha llegado a la solución optima y se procede a encontrar una nueva distribución (paso 7) y luego se repiten los pasos 3, 4, 5 y 6 y así sucesivamente, hasta encontrar la solución optima.
7) NUEVA DISTRIBUCION (segunda o tercera o cuarta etc. Según la resolución del problema).
§ Se halla el pivote. Este corresponde al valor positivo mayor de la tabla o matriz de costos marginales, este pivote esta ubicado en una posición que debe estar libre en la distribución anterior
§ En la posición que ocupa el pivote en la distribución anterior se introduce Q1, que permite el juego entre la oferta y la demanda para minimizar el costo
§ Después de introducir Q1 en la posición correspondiente, se debe buscar el equilibrio entre la oferta de los orígenes y la demanda de los destinos, sumando o restando Q1 en otras posiciones de la matriz de la distribución anterior
§ El contenido de las posiciones en que Q1 quede restando se iguala a cero y se despejan los Q1, se toma el valor del Q1 menor y se suma o se resta según el caso, obteniéndose de esta manera la nueva distribución, con equilibrio entre oferta y demanda, luego se repiten los pasos 3, 4, 5 y 6 y de ser necesario se halla una nueva distribución (paso 7) y se repiten nuevamente los pasos 3, 4, 5 y 6 y así sucesivamente hasta encontrar la solución optima, que nos indica el paso 6 y en este caso, la solución optima será el ultimo costo Z calculado en el paso 3
